Решение: Угол между диагоналями параллелограмма

Для решения задачи воспользуемся данными из примера (Кетова П-560), где параметры \(n = 5\) и \(m = 9\). Дано: Векторы \(\vec{a} = (n+1, 1, 1) = (6, 1, 1)\) Векторы \(\vec{b} = (1, 1, n+1) = (1, 1, 6)\) а) Найти угол между диагоналями параллелограмма. Диагонали параллелограмма определяются как: \[ \vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = (6+1, 1+1, 1+6) = (7, 2, 7) \] \[ \vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = (6-1, 1-1, 1-6) = (5, 0, -5) \] Косинус угла \(\beta\) между диагоналями находится по формуле: \[ \cos \beta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|} \] Вычислим скалярное произведение: \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 7 \cdot 5 + 2 \cdot 0 + 7 \cdot (-5) = 35 + 0 - 35 = 0 \] Так как скалярное произведение равно 0, то \(\cos \beta = 0\), следовательно: \[ \beta = 90^\circ \] Ответ: \(90^\circ\) б) Найти площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ S = |\vec{a} \times \vec{b}| \] Вычислим векторное произведение через определитель: \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 6 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(6 \cdot 6 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(6 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \] \[ \vec{a} \times \vec{b} = 5\vec{i} - 35\vec{j} + 5\vec{k} = (5, -35, 5) \] Находим модуль полученного вектора: \[ S = \sqrt{5^2 + (-35)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 1225 + 25} = \sqrt{1275} \] \[ S = \sqrt{25 \cdot 51} = 5\sqrt{51} \] Ответ: \(5\sqrt{51}\) в) Найти высоту параллелограмма, опущенную на вектор \(\vec{b}\). Высота \(h_b\) вычисляется по формуле: \[ h_b = \frac{S}{|\vec{b}|} \] Находим длину вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 1 + 36} = \sqrt{38} \] Вычисляем высоту: \[ h_b = \frac{5\sqrt{51}}{\sqrt{38}} = 5\sqrt{\frac{51}{38}} \] Ответ: \(5\sqrt{\frac{51}{38}}\)