Решение задачи по линейной алгебре: m=4, n=6

Для решения задачи по линейной алгебре с параметрами \( n = 6 \) и \( m = 4 \), определим координаты векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) согласно структуре из примера: \[ \vec{a} = (n+1, 1, 1) = (6+1, 1, 1) = (7, 1, 1) \] \[ \vec{b} = (1, 1, m+1) = (1, 1, 4+1) = (1, 1, 5) \] Ниже представлено пошаговое решение для оформления в тетрадь. 1. Дано: \( \vec{a} = (7, 1, 1) \), \( \vec{b} = (1, 1, 5) \). а) Найти угол между диагоналями параллелограмма. Диагонали параллелограмма определяются как: \[ \vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = (7+1, 1+1, 1+5) = (8, 2, 6) \] \[ \vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = (7-1, 1-1, 1-5) = (6, 0, -4) \] Косинус угла \( \beta \) между диагоналями: \[ \cos \beta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|} \] Вычислим скалярное произведение: \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 8 \cdot 6 + 2 \cdot 0 + 6 \cdot (-4) = 48 + 0 - 24 = 24 \] Вычислим длины векторов: \[ |\vec{d_1}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 4 + 36} = \sqrt{104} \] \[ |\vec{d_2}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 0 + 16} = \sqrt{52} \] \[ \cos \beta = \frac{24}{\sqrt{104} \cdot \sqrt{52}} = \frac{24}{\sqrt{2 \cdot 52} \cdot \sqrt{52}} = \frac{24}{52\sqrt{2}} = \frac{6}{13\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{13} \] \[ \beta = \arccos\left(\frac{3\sqrt{2}}{13}\right) \] б) Найти площадь параллелограмма. Площадь равна модулю векторного произведения \( S = |\vec{a} \times \vec{b}| \). \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = \vec{i}(5-1) - \vec{j}(35-1) + \vec{k}(7-1) = 4\vec{i} - 34\vec{j} + 6\vec{k} \] Координаты вектора произведения: \( (4, -34, 6) \). \[ S = \sqrt{4^2 + (-34)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 1156 + 36} = \sqrt{1208} = \sqrt{4 \cdot 302} = 2\sqrt{302} \] Ответ: \( 2\sqrt{302} \) в) Найти высоту параллелограмма, опущенную на вектор \( \vec{b} \). Формула высоты: \( h_b = \frac{S}{|\vec{b}|} \). Вычислим длину вектора \( \vec{b} \): \[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] Вычисляем высоту: \[ h_b = \frac{2\sqrt{302}}{\sqrt{27}} = \frac{2\sqrt{302}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{906}}{9} \] Ответ: \( \frac{2\sqrt{906}}{9} \)