Решение интеграла ∫(3x² + √x - 1/x^(2/3) + 1) dx (Кетова, m=4, n=6)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами линейности интеграла и табличной формулой для степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). Задание: Найти интеграл \( \int (3x^2 + \sqrt{x} - \frac{1}{x^{2/3}} + 1) dx \) Решение для тетради: 1. Представим все слагаемые в виде степенных функций: \[ \int (3x^2 + x^{1/2} - x^{-2/3} + 1) dx \] 2. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: \[ 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} + x + C \] 3. Выполняем арифметические действия в показателях и знаменателях: \[ 3 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{1/3}}{1/3} + x + C \] 4. Упрощаем коэффициенты: \[ x^3 + \frac{2}{3}x^{3/2} - 3x^{1/3} + x + C \] Сверяем полученный результат с предложенными вариантами. Правильным является первый вариант. Ответ: \( x^3 + \frac{2}{3}x^{3/2} - 3x^{1/3} + x + C \)