Решение интеграла ∫(3 - √x)^2 dx: Линейная алгебра

Для решения данного интеграла сначала необходимо раскрыть квадрат разности по формуле \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Задание: Найти интеграл \( \int (3 - \sqrt{x})^2 dx \) Решение для переписывания в тетрадь: 1. Раскроем скобки в подынтегральном выражении: \[ (3 - \sqrt{x})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 9 - 6\sqrt{x} + x \] 2. Запишем интеграл от полученной суммы, представив корень в виде степени: \[ \int (9 - 6x^{1/2} + x) dx \] 3. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности, используя табличную формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \): \[ 9x - 6 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \frac{x^{1+1}}{1+1} + C \] 4. Упростим выражение: \[ 9x - 6 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^2}{2} + C \] \[ 9x - 6 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{x^2}{2} + C \] \[ 9x - 4x^{3/2} + \frac{x^2}{2} + C \] Сверяем с вариантами ответов на картинке. Правильным является четвертый вариант. Ответ: \( 9x - 4x^{3/2} + \frac{x^2}{2} + C \)