Представить (3m+4n)(4n-3m) в виде многочлена

Хорошо, я решу все задачи из представленной "Самостоятельной работы 2.6". --- Самостоятельная работа 2.6 Произведение суммы и разности двух выражений 1. Определите выражение, тождественно равное выражению \((x-y)(x+y)\): а) \(x^2-y^2\); б) \(y^2-x^2\); в) \(x^2-2xy+y^2\); г) \((x-y)^2\). Решение: Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\). В данном случае \(a=x\) и \(b=y\). Значит, \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\). Ответ: а) \(x^2-y^2\) 2. Определите верное равенство: а) \(d^2-9=(d-3)^2\); б) \(d^2-9=(d+3)(d-3)\); в) \(d^2-9=(d+3)(3-d)\); г) \(d^2-9=d^2+6d+9\). Решение: Рассмотрим каждое равенство: а) \((d-3)^2 = d^2 - 2 \cdot d \cdot 3 + 3^2 = d^2 - 6d + 9\). Это не равно \(d^2-9\). б) Используем формулу разности квадратов: \(d^2-9 = d^2-3^2 = (d-3)(d+3)\). Это равенство верно. в) \((d+3)(3-d) = (3+d)(3-d) = 3^2 - d^2 = 9 - d^2\). Это не равно \(d^2-9\). г) \(d^2+6d+9 = (d+3)^2\). Это не равно \(d^2-9\). Ответ: б) \(d^2-9=(d+3)(d-3)\) 3. Представьте произведение суммы и разности двух выражений \((a+5)(a-5)\) в виде многочлена. Решение: Используем формулу разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\). В данном случае \(a=a\) и \(b=5\). Значит, \((a+5)(a-5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25\). Ответ: \(a^2 - 25\) 4. Представьте выражение \(b^2-4\) в виде произведения. Решение: Заметим, что \(4 = 2^2\). Тогда выражение можно записать как \(b^2-2^2\). Используем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). В данном случае \(a=b\) и \(b=2\). Значит, \(b^2-4 = (b-2)(b+2)\). Ответ: \((b-2)(b+2)\) 5. Представьте выражение \((3m+4n)(4n-3m)\) в виде многочлена стандартного вида. Решение: Перепишем выражение, чтобы оно соответствовало формуле разности квадратов \((a+b)(a-b)\): \((4n+3m)(4n-3m)\) Здесь \(a=4n\) и \(b=3m\). Применяем формулу: \((4n)^2 - (3m)^2 = 16n^2 - 9m^2\). Ответ: \(16n^2 - 9m^2\) 6. Выполните умножение, используя формулу разности квадратов двух выражений: \((b^2-4)(4+b^2)\). Решение: Перепишем вторую скобку, чтобы она соответствовала формуле разности квадратов: \((b^2-4)(b^2+4)\) Здесь \(a=b^2\) и \(b=4\). Применяем формулу: \((b^2)^2 - 4^2 = b^4 - 16\). Ответ: \(b^4 - 16\) 7. Выполните умножение двучленов: \((-3x+y)(3x+y)\). Решение: Перепишем выражение, чтобы оно соответствовало формуле разности квадратов \((a+b)(a-b)\): \((y-3x)(y+3x)\) Здесь \(a=y\) и \(b=3x\). Применяем формулу: \(y^2 - (3x)^2 = y^2 - 9x^2\). Ответ: \(y^2 - 9x^2\) 8. Представьте выражение \(36c^2 - (5b+6c)(6c-5b)\) в виде многочлена стандартного вида. Решение: Сначала упростим вторую часть выражения, используя формулу разности квадратов: \((5b+6c)(6c-5b) = (6c+5b)(6c-5b)\) Здесь \(a=6c\) и \(b=5b\). \((6c)^2 - (5b)^2 = 36c^2 - 25b^2\) Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \(36c^2 - (36c^2 - 25b^2)\) Раскроем скобки, меняя знаки внутри: \(36c^2 - 36c^2 + 25b^2\) Слагаемые \(36c^2\) и \(-36c^2\) взаимно уничтожаются: \(25b^2\) Ответ: \(25b^2\) 9. Представьте произведение \((x-2)^2 (x+2)^2 (x^2+4)^2\) в виде многочлена стандартного вида. Решение: Заметим, что \((x-2)^2 (x+2)^2 = ((x-2)(x+2))^2\). Используем формулу разности квадратов для \((x-2)(x+2)\): \((x-2)(x+2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4\). Теперь подставим это обратно: \((x^2-4)^2 (x^2+4)^2\) Это можно записать как \(((x^2-4)(x^2+4))^2\). Снова используем формулу разности квадратов для \((x^2-4)(x^2+4)\): \((x^2-4)(x^2+4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16\). Теперь возведем это в квадрат: \((x^4-16)^2\) Используем формулу квадрата разности: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Здесь \(a=x^4\) и \(b=16\). \((x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 16 + 16^2\) \(x^8 - 32x^4 + 256\) Ответ: \(x^8 - 32x^4 + 256\) 10. Найдите значение выражения \(3^{24} - (3^3-2)(3^3+2)(3^6+4)(3^{12}+16)\). Решение: Рассмотрим часть выражения в скобках: \((3^3-2)(3^3+2)(3^6+4)(3^{12}+16)\). Применим формулу разности квадратов последовательно: 1. \((3^3-2)(3^3+2) = (3^3)^2 - 2^2 = 3^6 - 4\). Теперь подставим это: \((3^6-4)(3^6+4)(3^{12}+16)\) 2. \((3^6-4)(3^6+4) = (3^6)^2 - 4^2 = 3^{12} - 16\). Теперь подставим это: \((3^{12}-16)(3^{12}+16)\) 3. \((3^{12}-16)(3^{12}+16) = (3^{12})^2 - 16^2 = 3^{24} - 256\). Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \(3^{24} - (3^{24} - 256)\) Раскроем скобки: \(3^{24} - 3^{24} + 256\) Слагаемые \(3^{24}\) и \(-3^{24}\) взаимно уничтожаются: \(256\) Ответ: \(256\)