school
Математика
verified
Решено AI
Найти температуру серого тела
help_outline
Условие задачи
При какой температуре интегральная светимость поверхности серого тела с коэффициентом поглощения 0,0625 равна излучательности черного тела, имеющего температуру 1000 K?
lightbulb
Краткий ответ
Чтобы интегральная светимость серого тела с коэффициентом поглощения 0.0625 была равна излучательности черного тела при 1000 K, необходимо решить уравнение, приравнивающее их интегральные светимости. Ответ будет получен после соответствующих вычислений.
Подробное решение
Решение задачи:
Нам даны следующие величины:
Коэффициент поглощения серого тела \(\alpha = 0,0625\).
Температура черного тела \(T_ч = 1000 \text{ K}\).
Нам нужно найти температуру серого тела \(T_с\), при которой его интегральная светимость равна излучательности черного тела.
1. Запишем закон Стефана-Больцмана для излучательности черного тела:
Излучательность черного тела \(R_ч\) определяется формулой:
\[R_ч = \sigma T_ч^4\]
где \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана, равная \(5,67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}\).
2. Запишем формулу для интегральной светимости серого тела:
Интегральная светимость серого тела \(R_с\) определяется формулой:
\[R_с = \epsilon \sigma T_с^4\]
где \(\epsilon\) - коэффициент излучения (степень черноты) серого тела.
3. Согласно закону Кирхгофа, для серого тела коэффициент излучения \(\epsilon\) равен коэффициенту поглощения \(\alpha\):
\[\epsilon = \alpha\]
В нашем случае \(\epsilon = 0,0625\).
4. Подставим значение \(\epsilon\) в формулу для светимости серого тела:
\[R_с = \alpha \sigma T_с^4\]
5. По условию задачи, интегральная светимость серого тела равна излучательности черного тела:
\[R_с = R_ч\]
Значит:
\[\alpha \sigma T_с^4 = \sigma T_ч^4\]
6. Сократим \(\sigma\) с обеих сторон уравнения:
\[\alpha T_с^4 = T_ч^4\]
7. Выразим \(T_с^4\):
\[T_с^4 = \frac{T_ч^4}{\alpha}\]
8. Чтобы найти \(T_с\), извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:
\[T_с = \sqrt[4]{\frac{T_ч^4}{\alpha}}\]
\[T_с = \frac{T_ч}{\sqrt[4]{\alpha}}\]
9. Подставим известные значения:
\(T_ч = 1000 \text{ K}\)
\(\alpha = 0,0625\)
\[T_с = \frac{1000}{\sqrt[4]{0,0625}}\]
10. Вычислим \(\sqrt[4]{0,0625}\):
Заметим, что \(0,0625 = \frac{625}{10000}\).
\(\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}\)
\(\sqrt[4]{625} = 5\) (так как \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\))
\(\sqrt[4]{10000} = 10\) (так как \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000\))
Значит, \(\sqrt[4]{0,0625} = \frac{5}{10} = 0,5\).
11. Теперь подставим это значение обратно в формулу для \(T_с\):
\[T_с = \frac{1000}{0,5}\]
\[T_с = 2000 \text{ K}\]
Ответ: Температура серого тела должна быть \(2000 \text{ K}\).