Решение Задачи по Законам Кирхгофа: Найти I1, I2, I3

Для решения задачи воспользуемся первым и вторым законами Кирхгофа. Это классический метод расчета электрических цепей. Дано: \(E_1 = 10\) В \(E_2 = 40\) В \(R_1 = 50\) Ом \(R_2 = 20\) Ом \(R_3 = 5\) Ом \(R_4 = 15\) Ом Найти: \(I_1, I_2, I_3\) Решение: 1. Подготовим данные. В средней ветви резисторы \(R_2\) и \(R_3\) соединены последовательно. Их общее сопротивление: \[R_{23} = R_2 + R_3 = 20 + 5 = 25 \text{ Ом}\] 2. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для верхнего узла. Согласно стрелкам на схеме, токи \(I_1\) и \(I_2\) втекают в узел, а ток \(I_3\) вытекает из него: \[I_1 + I_2 = I_3 \quad (1)\] 3. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке. Для левого контура (обходим по часовой стрелке): Источник \(E_1\) направлен по обходу (плюс), падения напряжения на \(R_1\) и \(R_{23}\) также учитываем согласно направлениям токов. \[I_1 \cdot R_1 + I_3 \cdot R_{23} = E_1\] \[50 \cdot I_1 + 25 \cdot I_3 = 10\] Разделим всё уравнение на 5 для упрощения: \[10 \cdot I_1 + 5 \cdot I_3 = 2 \quad (2)\] Для правого контура (обходим по часовой стрелке): Ток \(I_2\) направлен против обхода (минус), ток \(I_3\) направлен по обходу (плюс). Источник \(E_2\) направлен против обхода (минус). \[-I_2 \cdot R_4 + I_3 \cdot R_{23} = -E_2\] \[-15 \cdot I_2 + 25 \cdot I_3 = -40\] Разделим на -5, чтобы избавиться от лишних минусов: \[3 \cdot I_2 - 5 \cdot I_3 = 8 \quad (3)\] 4. Решим полученную систему уравнений: Из (2) выразим \(I_1\): \(10 I_1 = 2 - 5 I_3 \Rightarrow I_1 = 0,2 - 0,5 I_3\) Из (3) выразим \(I_2\): \(3 I_2 = 8 + 5 I_3 \Rightarrow I_2 = \frac{8}{3} + \frac{5}{3} I_3\) Подставим \(I_1\) и \(I_2\) в уравнение (1): \[(0,2 - 0,5 I_3) + (\frac{8}{3} + \frac{5}{3} I_3) = I_3\] Переведем всё в обыкновенные дроби со знаменателем 30: \[\frac{6}{30} - \frac{15}{30} I_3 + \frac{80}{30} + \frac{50}{30} I_3 = I_3\] \[\frac{86}{30} + \frac{35}{30} I_3 = I_3\] \[\frac{86}{30} = I_3 - \frac{35}{30} I_3\] \[\frac{86}{30} = -\frac{5}{30} I_3\] \[I_3 = -\frac{86}{5} = -17,2 \text{ А}\] Внимание: Направление \(E_2\) на втором фото указано вверх (к узлу), а на первом фото полярность была иной. Пересчитаем значения строго по второму фото, где \(E_2\) направлен вверх. Уравнение (3) при \(E_2\) вверх: \[I_2 \cdot R_4 + I_3 \cdot R_{23} = E_2\] \[15 I_2 + 25 I_3 = 40 \Rightarrow 3 I_2 + 5 I_3 = 8\] Тогда \(I_2 = \frac{8 - 5 I_3}{3}\). Подставляем в (1): \[(0,2 - 0,5 I_3) + \frac{8 - 5 I_3}{3} = I_3\] Умножим всё на 30: \[6 - 15 I_3 + 80 - 50 I_3 = 30 I_3\] \[86 = 95 I_3\] \[I_3 = \frac{86}{95} \approx 0,905 \text{ А}\] Находим остальные токи: \[I_1 = 0,2 - 0,5 \cdot 0,905 = 0,2 - 0,4525 = -0,2525 \text{ А}\] \[I_2 = \frac{8 - 5 \cdot 0,905}{3} = \frac{8 - 4,525}{3} = \frac{3,475}{3} \approx 1,158 \text{ А}\] Ответ: \(I_1 \approx -0,253\) А, \(I_2 \approx 1,158\) А, \(I_3 \approx 0,905\) А.