Вычисление предела функции: подробное решение примера

Для того чтобы научиться вычислять пределы функций, необходимо разобрать базовый пример и правила оформления в тетради. Рассмотрим вычисление предела функции при \( x \), стремящемся к конкретному числу. Задача: Вычислить предел функции \[ L = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \] Решение: 1. Сначала попробуем подставить значение \( x = 2 \) в выражение. Мы получим неопределенность вида \( \frac{0}{0} \), так как: \[ 2^2 - 4 = 0 \] \[ 2 - 2 = 0 \] 2. Чтобы избавиться от неопределенности, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] 3. Подставим разложенное выражение в предел: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \] 4. Сократим дробь на общий множитель \( (x - 2) \). Это допустимо, так как при нахождении предела \( x \) стремится к 2, но не равен 2: \[ \lim_{x \to 2} (x + 2) \] 5. Теперь подставим \( x = 2 \) в упрощенное выражение: \[ 2 + 2 = 4 \] Ответ: \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 \). Основные правила для записи в тетрадь: - Всегда пишите знак лимита \( \lim \) до тех пор, пока не подставите число вместо \( x \). - Если получается \( \frac{0}{0} \), обязательно указывайте это в скобках как неопределенность. - Старайтесь максимально упростить выражение (разложить на множители, вынести за скобки или сократить).