Решение системы уравнений методом Крамера

Решим систему линейных уравнений методом Крамера. Это наиболее наглядный способ для школьной тетради. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x + y - z = -2 \\ 4x - 3y + z = 1 \\ 2x + y - 5z = 1 \end{cases} \] 1. Вычислим главный определитель системы \( \Delta \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix} \] \[ \Delta = 1 \cdot (-3) \cdot (-5) + 1 \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 \cdot 1 - ((-1) \cdot (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 4 \cdot (-5) + 1 \cdot 1 \cdot 1) \] \[ \Delta = (15 + 2 - 4) - (6 - 20 + 1) = 13 - (-13) = 26 \] 2. Вычислим определитель \( \Delta_x \), заменив первый столбец на свободные члены: \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -5 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_x = (-2) \cdot (-3) \cdot (-5) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot 1 - ((-1) \cdot (-3) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-5) + (-2) \cdot 1 \cdot 1) \] \[ \Delta_x = (-30 + 1 - 1) - (3 - 5 - 2) = -30 - (-4) = -26 \] 3. Вычислим определитель \( \Delta_y \), заменив второй столбец: \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 4 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_y = 1 \cdot 1 \cdot (-5) + (-2) \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 \cdot 1 - ((-1) \cdot 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 4 \cdot (-5) + 1 \cdot 1 \cdot 1) \] \[ \Delta_y = (-5 - 4 - 4) - (-2 + 40 + 1) = -13 - 39 = -52 \] 4. Вычислим определитель \( \Delta_z \), заменив третий столбец: \[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 4 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_z = 1 \cdot (-3) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 4 \cdot 1 - ((-2) \cdot (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1) \] \[ \Delta_z = (-3 + 2 - 8) - (12 + 4 + 1) = -9 - 17 = -26 \] 5. Находим значения переменных: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-26}{26} = -1 \] \[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-52}{26} = -2 \] \[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-26}{26} = -1 \] Проверка: Подставим в первое уравнение: \( -1 + (-2) - (-1) = -1 - 2 + 1 = -2 \). Верно. Ответ: \( x = -1, y = -2, z = -1 \).