Решение: Пример решения системы уравнений методом Крам

Рассмотрим решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера. Этот метод удобен для записи в тетрадь, так как имеет четкий алгоритм. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x - y = 1 \end{cases} \] Решение: 1. Составим и вычислим главный определитель системы \(\Delta\), состоящий из коэффициентов при переменных \(x\) и \(y\): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 = -2 - 9 = -11 \] Так как \(\Delta \neq 0\), система имеет единственное решение. 2. Составим и вычислим вспомогательный определитель \(\Delta_x\). Для этого заменим первый столбец главного определителя (коэффициенты при \(x\)) на столбец свободных членов (числа 8 и 1): \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 8 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -8 - 3 = -11 \] 3. Составим и вычислим вспомогательный определитель \(\Delta_y\). Для этого заменим второй столбец главного определителя (коэффициенты при \(y\)) на столбец свободных членов: \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 8 \cdot 3 = 2 - 24 = -22 \] 4. Находим значения переменных по формулам Крамера: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-11}{-11} = 1 \] \[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-22}{-11} = 2 \] 5. Проверка: Подставим полученные значения в первое уравнение: \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8\). Верно. Ответ: \(x = 1\), \(y = 2\).