Скалярное произведение векторов: определение и решение задач

Определение и примеры решения скалярного произведения векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Формула через длины и угол: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha \] Формула через координаты векторов \( \vec{a}(x_1; y_1) \) и \( \vec{b}(x_2; y_2) \): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \] Пример 1. Нахождение через координаты. Даны векторы \( \vec{a}(3; -2) \) и \( \vec{b}(4; 5) \). Найти их скалярное произведение. Решение: Воспользуемся формулой для координат: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 \] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 12 - 10 = 2 \] Ответ: 2. Пример 2. Нахождение через длины и угол. Даны длины векторов \( |\vec{a}| = 5 \), \( |\vec{b}| = 6 \) и угол между ними \( \alpha = 60^\circ \). Найти скалярное произведение. Решение: Так как \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), подставим значения в формулу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ \] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \] Ответ: 15. Пример 3. Проверка векторов на перпендикулярность. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Проверим векторы \( \vec{c}(2; 4) \) и \( \vec{d}(-2; 1) \): \[ \vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = -4 + 4 = 0 \] Так как произведение равно 0, векторы перпендикулярны.