Пришить с первого по второе фото. Это одно задание.
Нажмите для увеличения
lightbulb
Краткий ответ
Все высоты ромба равны, и его диагонали взаимно перпендикулярны. Также в ромбе с углом 60 градусов одна из диагоналей может быть равна его высоте.
check_circle
Подробное решение
Хорошо, давайте разберем каждое утверждение о ромбе.
Задача
Отметьте ВСЕ верные утверждения.
Решение
Рассмотрим каждое утверждение:
1. Все высоты ромба равны.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь параллелограмма (и ромба) можно найти по формуле \(S = a \cdot h\), где \(a\) — длина стороны, а \(h\) — высота, опущенная на эту сторону. Поскольку у ромба все стороны равны, и площадь одна и та же, то и высоты, опущенные на любую сторону, будут равны.
Это утверждение верно.
2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Это одно из основных свойств ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Это утверждение верно.
3. В ромбе с углом \(60^\circ\) одна из диагоналей равна его высоте.
Пусть сторона ромба равна \(a\).
Если один из углов ромба равен \(60^\circ\), то противоположный ему угол также равен \(60^\circ\). Два других угла будут по \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и короткой диагональю. Если угол между сторонами \(60^\circ\), то этот треугольник является равносторонним (так как две стороны равны \(a\), а угол между ними \(60^\circ\), то и два других угла по \(60^\circ\)). Значит, короткая диагональ равна стороне ромба, то есть \(d_1 = a\).
Высота ромба \(h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Сравниваем короткую диагональ \(d_1 = a\) и высоту \(h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Они не равны, так как \(\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1\).
Рассмотрим длинную диагональ. Она будет больше \(a\).
Таким образом, ни одна из диагоналей не равна высоте.
Это утверждение неверно.
4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Это также одно из основных свойств ромба. Диагонали ромба делят его углы пополам.
Это утверждение верно.
5. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен его высоте.
В любой ромб можно вписать окружность. Центр этой окружности находится в точке пересечения диагоналей. Радиус вписанной окружности — это перпендикуляр, опущенный из центра на сторону ромба.
Высота ромба — это расстояние между противоположными сторонами. Диаметр вписанной окружности равен удвоенному радиусу.
Если мы опустим высоту из одной вершины на противоположную сторону, то эта высота будет равна расстоянию между этими параллельными сторонами. Вписанная окружность касается всех четырех сторон, и расстояние между двумя параллельными сторонами, которых касается окружность, равно диаметру этой окружности.
Следовательно, диаметр вписанной окружности равен высоте ромба.
Это утверждение верно.
Вывод
Верными являются утверждения:
* Все высоты ромба равны.
* Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
* Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
* Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен его высоте.
