Задача: Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Для нахождения площади поверхности многогранника, мы можем представить его как большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан меньший прямоугольный параллелепипед. При этом, площадь поверхности такого многогранника можно найти, если мы "достроим" его до полного прямоугольного параллелепипеда, а затем учтем изменения.
Шаг 1: Определим размеры "большого" параллелепипеда.
Из рисунка видно, что максимальные размеры многогранника:
- Длина (вдоль оси, где 5) = 5
- Ширина (вдоль оси, где 2) = 2
- Высота (вдоль оси, где 3) = 3
Представим, что у нас есть полный прямоугольный параллелепипед с этими размерами.
Шаг 2: Вычислим площадь поверхности "большого" параллелепипеда.
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда: \(S = 2 \cdot (длина \cdot ширина + длина \cdot высота + ширина \cdot высота)\).
\(S_{большой} = 2 \cdot (5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 2 \cdot 3)\)
\(S_{большой} = 2 \cdot (10 + 15 + 6)\)
\(S_{большой} = 2 \cdot 31 = 62\)
Шаг 3: Определим размеры "вырезанного" параллелепипеда.
Из рисунка видно, что "вырез" имеет следующие размеры:
- Длина выреза = (общая длина 5) - (длина нижней части 2) = \(5 - 2 = 3\)
- Ширина выреза = (общая ширина 2) - (ширина верхней части 1) = \(2 - 1 = 1\) (это неверно, ширина выреза равна ширине всего объекта, то есть 2. Ширина верхней части 1 - это толщина "стенки")
- Высота выреза = (общая высота 3) - (высота правой части 2) = \(3 - 2 = 1\)
Давайте пересмотрим размеры выреза. Вырез находится в углу. Его размеры:
- Длина (вдоль оси 5) = \(5 - 2 = 3\)
- Ширина (вдоль оси 2) = \(2 - 1 = 1\) (это толщина "стенки" верхней части)
- Высота (вдоль оси 3) = \(3 - 2 = 1\)
Это не совсем корректно. Проще считать, что вырез имеет размеры: длина 3, ширина 1, высота 1. Но это не тот вырез, который мы "достраивали".
Давайте используем более простой и интуитивный метод для таких фигур:
Площадь поверхности такого многогранника равна площади поверхности "большого" параллелепипеда, если бы он был целым, плюс удвоенная площадь "внутренних" граней, которые образовались при вырезании.
Шаг 1: Вычислим площадь поверхности "большого" параллелепипеда.
Максимальные размеры: длина = 5, ширина = 2, высота = 3.
\(S_{большой} = 2 \cdot (5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 2 \cdot 3)\)
\(S_{большой} = 2 \cdot (10 + 15 + 6)\)
\(S_{большой} = 2 \cdot 31 = 62\)
Шаг 2: Определим размеры "внутренних" граней, которые появились из-за выреза.
При вырезании образовались две новые грани:
- Одна вертикальная грань: её высота = (общая высота 3) - (высота правой части 2) = \(3 - 2 = 1\). Её ширина = (общая ширина 2) - (ширина верхней части 1) = \(2 - 1 = 1\). Нет, это не так. Ширина этой грани равна ширине всего объекта, то есть 2. Значит, вертикальная внутренняя грань имеет размеры: высота = \(3 - 2 = 1\), ширина = 2.
- Одна горизонтальная грань: её длина = (общая длина 5) - (длина нижней части 2) = \(5 - 2 = 3\). Её ширина = (общая ширина 2) - (ширина верхней части 1) = \(2 - 1 = 1\).
Давайте уточним размеры "внутренних" граней по рисунку:
- Внутренняя вертикальная грань:
- Высота: это разница между общей высотой (3) и высотой правой части (2), то есть \(3 - 2 = 1\).
- Ширина: это ширина всего объекта, которая равна 2.
- Площадь внутренней вертикальной грани: \(S_{внутр.верт} = 1 \cdot 2 = 2\).
- Внутренняя горизонтальная грань:
- Длина: это разница между общей длиной (5) и длиной нижней части (2), то есть \(5 - 2 = 3\).
- Ширина: это толщина "стенки" верхней части, которая равна 1.
- Площадь внутренней горизонтальной грани: \(S_{внутр.гориз} = 3 \cdot 1 = 3\).
Шаг 3: Вычислим общую площадь поверхности.
Площадь поверхности такого многогранника равна площади поверхности "большого" параллелепипеда, если бы он был целым, потому что при вырезании, те поверхности, которые были бы "снаружи" выреза, теперь стали "внутри", и их площадь компенсируется. Однако, есть две новые поверхности, которые появились.
Площадь поверхности многогранника = \(S_{большой} + 2 \cdot S_{внутр.верт} + 2 \cdot S_{внутр.гориз}\) - это неверно.
Правильный подход для таких фигур:
Площадь поверхности такого многогранника равна площади поверхности "большого" параллелепипеда, если бы он был целым, потому что при вырезании, те поверхности, которые были бы "снаружи" выреза, теперь стали "внутри", и их площадь компенсируется. То есть, площадь "потерянных" внешних граней равна площади "приобретенных" внутренних граней.
Однако, это верно только если вырез не меняет общую "проекцию" на плоскости. В данном случае, вырез меняет проекцию.
Самый простой и надежный способ для школьника:
Представим, что мы "разворачиваем" многогранник и считаем площади всех его граней.
1. Площадь передней и задней L-образных граней:
Площадь одной такой грани = (Площадь большого прямоугольника 5x3) - (Площадь вырезанного прямоугольника 3x1).
Размеры большого прямоугольника: длина = 5, высота = 3. Площадь = \(5 \cdot 3 = 15\).
Размеры вырезанного прямоугольника: длина = \(5 - 2 = 3\), высота = \(3 - 2 = 1\). Площадь = \(3 \cdot 1 = 3\).
Площадь одной L-образной грани = \(15 - 3 = 12\).
Так как таких граней две (передняя и задняя), их общая площадь = \(2 \cdot 12 = 24\).
2. Площадь нижней грани:
Длина = 5, ширина = 2. Площадь = \(5 \cdot 2 = 10\).
3. Площадь верхних граней (две части):
Часть 1 (длинная): длина = 5, ширина = 1. Площадь = \(5 \cdot 1 = 5\).
Часть 2 (короткая): длина = \(5 - 2 = 3\), ширина = 2. Площадь = \(3 \cdot 2 = 6\).
Общая площадь верхних граней = \(5 + 6 = 11\).
4. Площадь боковых граней:
Левая боковая грань: высота = 3, ширина = 2. Площадь = \(3 \cdot 2 = 6\).
Правая боковая грань: высота = 2, ширина = 2. Площадь = \(2 \cdot 2 = 4\).
5. Площадь внутренних граней (которые образовались при вырезании):
Внутренняя вертикальная грань: высота = \(3 - 2 = 1\), ширина = 2. Площадь = \(1 \cdot 2 = 2\).
Внутренняя горизонтальная грань: длина = \(5 - 2 = 3\), ширина = 1. Площадь = \(3 \cdot 1 = 3\).
6. Суммируем площади всех граней:
\(S_{общ} = 24 (\text{передняя и задняя}) + 10 (\text{нижняя}) + 11 (\text{верхние}) + 6 (\text{левая}) + 4 (\text{правая}) + 2 (\text{внутр. верт.}) + 3 (\text{внутр. гориз.})\)
\(S_{общ} = 24 + 10 + 11 + 6 + 4 + 2 + 3 = 60\).
Ответ: 60.