Задача:
Для заданной статически неопределимой рамы требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.Исходные данные:
Из рисунка видно, что рама имеет следующие параметры:Нагрузки:
- Сосредоточенная сила \(P_1 = 6 \text{ кН}\) на верхнем ригеле, на расстоянии \(1.5 \text{ м}\) от левой опоры.
- Сосредоточенная сила \(P_2 = 0\) (указано на рисунке) на средней стойке.
- Сосредоточенная сила \(P_3 = 0\) (указано на рисунке) на нижнем ригеле, на расстоянии \(1.5 \text{ м}\) от левой опоры.
- Равномерно распределённая нагрузка \(q = 2.4 \text{ кН/м}\) на правом участке нижнего ригеля.
Размеры:
- Длина левого участка верхнего ригеля до \(P_1\): \(1.5 \text{ м}\).
- Длина левого участка нижнего ригеля до \(P_3\): \(1.5 \text{ м}\).
- Длина левой стойки: \(l_1 = 3 \text{ м}\).
- Длина правой стойки: \(l_2 = 5 \text{ м}\).
- Высота верхнего этажа: \(3 \text{ м}\).
- Высота нижнего этажа: \(3 \text{ м}\).
Жёсткости:
- Соотношение жёсткостей: \(I_1 : I_2 = 1 : 4\). Это означает, что жёсткость элементов с индексом 2 в 4 раза больше жёсткости элементов с индексом 1.
- Предположим, что \(I_1\) относится к ригелям и левой стойке, а \(I_2\) к правой стойке. Однако, обычно в таких задачах \(I_1\) и \(I_2\) относятся к разным типам элементов (например, ригели и стойки). Из рисунка видно, что \(I_1\) и \(I_2\) указаны на разных участках. Уточним: \(I_1\) - жёсткость ригелей и левой стойки, \(I_2\) - жёсткость правой стойки.
1. Определение степени статической неопределимости и выбор основной системы метода перемещений
Рама имеет 3 замкнутых контура и 3 шарнира. Количество неизвестных перемещений (обобщённых координат) равно количеству возможных поворотов в узлах и линейных перемещений. В данной раме есть 2 узла, где могут быть повороты (верхний и нижний узлы соединения ригелей и стоек). Также возможны горизонтальные перемещения. Давайте определим степень кинематической неопределимости. Количество узлов, где возможен поворот: 2 (верхний и нижний узлы соединения ригелей и стоек). Количество возможных линейных перемещений: 1 (горизонтальное смещение). Таким образом, степень кинематической неопределимости равна 3. Выбираем основную систему метода перемещений, освобождая раму от этих связей. В качестве неизвестных принимаем:- \(Z_1\) - поворот верхнего узла.
- \(Z_2\) - поворот нижнего узла.
- \(Z_3\) - горизонтальное смещение рамы.
2. Построение единичных эпюр моментов от неизвестных \(Z_1, Z_2, Z_3\)
2.1. Единичная эпюра \(M_1\) от \(Z_1 = 1\)
Прикладываем единичный поворот в верхнем узле.Моменты в узле:
- В левом участке верхнего ригеля: \(M_{1,л} = \frac{4EI_1}{l_{ригель}}\)
- В правом участке верхнего ригеля: \(M_{1,п} = \frac{4EI_1}{l_{ригель}}\)
- В верхней части левой стойки: \(M_{1,сл} = \frac{4EI_1}{l_{стойка}}\)
- В верхней части правой стойки: \(M_{1,сп} = \frac{4EI_2}{l_{стойка}}\)
Моменты от \(Z_1 = 1\) (поворот верхнего узла):
- Верхний ригель (левый участок): \(M_{1,вр,л} = \frac{4EI_1}{3}\)
- Верхний ригель (правый участок): \(M_{1,вр,п} = \frac{4EI_1}{5}\)
- Левая стойка (верхний участок): \(M_{1,лс,в} = \frac{4EI_1}{3}\)
- Правая стойка (верхний участок): \(M_{1,пс,в} = \frac{4EI_2}{3} = \frac{4E(4I_1)}{3} = \frac{16EI_1}{3}\)
2.2. Единичная эпюра \(M_2\) от \(Z_2 = 1\)
Прикладываем единичный поворот в нижнем узле.Моменты от \(Z_2 = 1\) (поворот нижнего узла):
- Нижний ригель (левый участок): \(M_{2,нр,л} = \frac{4EI_1}{3}\)
- Нижний ригель (правый участок): \(M_{2,нр,п} = \frac{4EI_1}{5}\)
- Левая стойка (нижний участок): \(M_{2,лс,н} = \frac{4EI_1}{3}\)
- Правая стойка (нижний участок): \(M_{2,пс,н} = \frac{4EI_2}{3} = \frac{16EI_1}{3}\)
2.3. Единичная эпюра \(M_3\) от \(Z_3 = 1\)
Прикладываем единичное горизонтальное смещение рамы.Моменты от \(Z_3 = 1\) (горизонтальное смещение):
- Левая стойка: \(M_{3,лс} = \frac{6EI_1}{l_{лс}^2} = \frac{6EI_1}{3^2} = \frac{6EI_1}{9} = \frac{2EI_1}{3}\)
- Правая стойка: \(M_{3,пс} = \frac{6EI_2}{l_{пс}^2} = \frac{6E(4I_1)}{6^2} = \frac{24EI_1}{36} = \frac{2EI_1}{3}\)
3. Построение грузовой эпюры моментов \(M_P\)
Строим эпюру моментов от внешних нагрузок в основной системе.Нагрузки:
- \(P_1 = 6 \text{ кН}\) на верхнем ригеле.
- \(q = 2.4 \text{ кН/м}\) на правом участке нижнего ригеля.
Моменты от \(P_1\):
На участке верхнего ригеля, где приложена \(P_1\), максимальный момент под силой \(M_{max} = \frac{P_1ab}{l}\). Здесь \(a = 1.5 \text{ м}\), \(b = 8 - 1.5 = 6.5 \text{ м}\), \(l = 8 \text{ м}\). \(M_{P1} = \frac{6 \cdot 1.5 \cdot 6.5}{8} = \frac{58.5}{8} = 7.3125 \text{ кНм}\). Это для балки на двух опорах. В нашей раме это будет сложнее, так как есть жёсткие узлы. Для жёстко защемлённой балки с сосредоточенной силой: \(M_{защ,левый} = \frac{P_1 b^2 a}{l^2}\) \(M_{защ,правый} = \frac{P_1 a^2 b}{l^2}\) Здесь \(a = 1.5 \text{ м}\), \(b = 5 \text{ м}\) (длина правого участка ригеля). Общая длина ригеля между узлами \(3+5=8\) м. Но \(P_1\) приложена на участке \(1.5 \text{ м}\) от левой опоры. Рассмотрим участок верхнего ригеля как отдельную балку, жёстко защемлённую в узлах. Левый участок ригеля: \(l_{1} = 3 \text{ м}\). Правый участок ригеля: \(l_{2} = 5 \text{ м}\). Сила \(P_1\) приложена на расстоянии \(1.5 \text{ м}\) от левой опоры. Моменты от \(P_1\) в узлах: \(M_{P1,левый} = \frac{P_1 b^2 a}{l^2} = \frac{6 \cdot (3-1.5)^2 \cdot 1.5}{3^2} = \frac{6 \cdot 1.5^2 \cdot 1.5}{9} = \frac{6 \cdot 2.25 \cdot 1.5}{9} = \frac{20.25}{9} = 2.25 \text{ кНм}\) \(M_{P1,правый} = \frac{P_1 a^2 b}{l^2} = \frac{6 \cdot 1.5^2 \cdot (3-1.5)}{3^2} = \frac{6 \cdot 2.25 \cdot 1.5}{9} = 2.25 \text{ кНм}\) Это моменты в узлах, если бы ригель был защемлён.Моменты от \(q\):
На участке нижнего ригеля, где приложена \(q\), максимальный момент \(M_{max} = \frac{ql^2}{8}\). Длина участка \(l = 5 \text{ м}\). \(M_{q} = \frac{2.4 \cdot 5^2}{8} = \frac{2.4 \cdot 25}{8} = \frac{60}{8} = 7.5 \text{ кНм}\). Это для балки на двух опорах. Для жёстко защемлённой балки с равномерно распределённой нагрузкой: \(M_{защ} = \frac{ql^2}{12} = \frac{2.4 \cdot 5^2}{12} = \frac{2.4 \cdot 25}{12} = \frac{60}{12} = 5 \text{ кНм}\).4. Составление канонических уравнений метода перемещений
Система канонических уравнений имеет вид: \[ \begin{cases} r_{11} Z_1 + r_{12} Z_2 + r_{13} Z_3 + R_{1P} = 0 \\ r_{21} Z_1 + r_{22} Z_2 + r_{23} Z_3 + R_{2P} = 0 \\ r_{31} Z_1 + r_{32} Z_2 + r_{33} Z_3 + R_{3P} = 0 \end{cases} \] Где \(r_{ik}\) - реакции в \(i\)-й связи от единичного перемещения \(Z_k = 1\). \(R_{iP}\) - реакции в \(i\)-й связи от внешней нагрузки.4.1. Вычисление коэффициентов \(r_{ik}\)
Коэффициенты \(r_{ik}\) - это реакции в связях от единичных перемещений. Они вычисляются как сумма моментов или поперечных сил в узлах. \(r_{11}\) - реакция в 1-й связи (момент в верхнем узле) от \(Z_1 = 1\). \(r_{11} = \frac{4EI_1}{3} + \frac{4EI_1}{5} + \frac{4EI_1}{3} + \frac{16EI_1}{3} = EI_1 \left( \frac{4}{3} + \frac{4}{5} + \frac{4}{3} + \frac{16}{3} \right) = EI_1 \left( \frac{24}{3} + \frac{4}{5} \right) = EI_1 \left( 8 + 0.8 \right) = 8.8 EI_1\) \(r_{22}\) - реакция во 2-й связи (момент в нижнем узле) от \(Z_2 = 1\). \(r_{22} = \frac{4EI_1}{3} + \frac{4EI_1}{5} + \frac{4EI_1}{3} + \frac{16EI_1}{3} = 8.8 EI_1\) (аналогично \(r_{11}\)) \(r_{33}\) - реакция в 3-й связи (горизонтальная сила) от \(Z_3 = 1\). \(r_{33} = \frac{6EI_1}{3^2} + \frac{6EI_2}{6^2} = \frac{6EI_1}{9} + \frac{6E(4I_1)}{36} = \frac{2EI_1}{3} + \frac{24EI_1}{36} = \frac{2EI_1}{3} + \frac{2EI_1}{3} = \frac{4EI_1}{3} = 1.333 EI_1\)Перекрёстные коэффициенты:
\(r_{12} = r_{21}\) - реакция в 1-й связи от \(Z_2 = 1\) (момент в верхнем узле от поворота нижнего узла). Это моменты, передающиеся через стойки. \(r_{12} = \frac{2EI_1}{3} + \frac{2EI_2}{3} = \frac{2EI_1}{3} + \frac{2E(4I_1)}{3} = \frac{2EI_1}{3} + \frac{8EI_1}{3} = \frac{10EI_1}{3} = 3.333 EI_1\) \(r_{13} = r_{31}\) - реакция в 1-й связи от \(Z_3 = 1\) (момент в верхнем узле от горизонтального смещения). \(r_{13} = \frac{6EI_1}{3^2} + \frac{6EI_2}{3^2} = \frac{2EI_1}{3} + \frac{2E(4I_1)}{3} = \frac{10EI_1}{3} = 3.333 EI_1\) \(r_{23} = r_{32}\) - реакция во 2-й связи от \(Z_3 = 1\) (момент в нижнем узле от горизонтального смещения). \(r_{23} = \frac{6EI_1}{3^2} + \frac{6EI_2}{3^2} = \frac{10EI_1}{3} = 3.333 EI_1\)