Подробное решение системы линейных уравнений

Для того чтобы решение было максимально понятным для записи в тетрадь, распишем каждый шаг вычислений максимально подробно. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 - x_2 + 5x_3 = -12 \\ 3x_1 + x_2 + x_3 = -2 \\ 5x_1 - x_2 - x_3 = 10 \end{cases} \] 1. Найдем главный определитель системы \( \Delta \). Используем метод разложения по первой строке: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} \] Вычисляем маленькие определители (миноры): \[ \Delta = 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) + 1 \cdot (3 \cdot (-1) - 1 \cdot 5) + 5 \cdot (3 \cdot (-1) - 1 \cdot 5) \] \[ \Delta = 1 \cdot (-1 + 1) + 1 \cdot (-3 - 5) + 5 \cdot (-3 - 5) \] \[ \Delta = 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-8) + 5 \cdot (-8) = 0 - 8 - 40 = -48 \] Так как \( \Delta \neq 0 \), система имеет единственное решение. 2. Вычислим определитель \( \Delta_1 \). Заменяем первый столбец основной матрицы на столбец свободных членов \( (-12, -2, 10) \): \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} -12 & -1 & 5 \\ -2 & 1 & 1 \\ 10 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -12 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 10 & -1 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 10 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_1 = -12 \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) + 1 \cdot ((-2) \cdot (-1) - 1 \cdot 10) + 5 \cdot ((-2) \cdot (-1) - 1 \cdot 10) \] \[ \Delta_1 = -12 \cdot 0 + 1 \cdot (2 - 10) + 5 \cdot (2 - 10) \] \[ \Delta_1 = 0 - 8 - 40 = -48 \] 3. Вычислим определитель \( \Delta_2 \). Заменяем второй столбец: \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & -12 & 5 \\ 3 & -2 & 1 \\ 5 & 10 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 10 & -1 \end{vmatrix} - (-12) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_2 = 1 \cdot ((-2) \cdot (-1) - 1 \cdot 10) + 12 \cdot (3 \cdot (-1) - 1 \cdot 5) + 5 \cdot (3 \cdot 10 - (-2) \cdot 5) \] \[ \Delta_2 = 1 \cdot (2 - 10) + 12 \cdot (-3 - 5) + 5 \cdot (30 + 10) \] \[ \Delta_2 = -8 + 12 \cdot (-8) + 5 \cdot 40 = -8 - 96 + 200 = 96 \] 4. Вычислим определитель \( \Delta_3 \). Заменяем третий столбец: \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -12 \\ 3 & 1 & -2 \\ 5 & -1 & 10 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 10 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} + (-12) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_3 = 1 \cdot (1 \cdot 10 - (-2) \cdot (-1)) + 1 \cdot (3 \cdot 10 - (-2) \cdot 5) - 12 \cdot (3 \cdot (-1) - 1 \cdot 5) \] \[ \Delta_3 = 1 \cdot (10 - 2) + 1 \cdot (30 + 10) - 12 \cdot (-3 - 5) \] \[ \Delta_3 = 8 + 40 - 12 \cdot (-8) = 48 + 96 = 144 \] 5. Находим значения переменных по формулам Крамера: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-48}{-48} = 1 \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{96}{-48} = -2 \] \[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{144}{-48} = -3 \] Проверка (подставим во второе уравнение): \[ 3 \cdot (1) + (-2) + (-3) = 3 - 2 - 3 = -2 \] Верно. Ответ: \( x_1 = 1, x_2 = -2, x_3 = -3 \).