Решение системы уравнений методом Крамера

Для того чтобы решение в тетради выглядело максимально полным и обоснованным, воспользуемся методом Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей матриц. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 1x_1 - 1x_2 + 5x_3 = -12 \\ 3x_1 + 1x_2 + 1x_3 = -2 \\ 5x_1 - 1x_2 - 1x_3 = 10 \end{cases} \] Шаг 1. Составим и вычислим главный определитель системы \( \Delta \), состоящий из коэффициентов при переменных: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -1 \end{vmatrix} \] Для вычисления используем правило треугольника (или метод Саррюса): \[ \Delta = (1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (-1 \cdot 1 \cdot 5) + (3 \cdot (-1) \cdot 5) - (5 \cdot 1 \cdot 5) - (1 \cdot 1 \cdot (-1)) - (3 \cdot (-1) \cdot (-1)) \] \[ \Delta = (-1) + (-5) + (-15) - (25) - (-1) - (3) \] \[ \Delta = -1 - 5 - 15 - 25 + 1 - 3 = -48 \] Так как \( \Delta = -48 \neq 0 \), система имеет единственное решение. Шаг 2. Вычислим определитель \( \Delta_1 \). Для этого заменим первый столбец главного определителя на столбец свободных членов \( \begin{pmatrix} -12 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} \): \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} -12 & -1 & 5 \\ -2 & 1 & 1 \\ 10 & -1 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_1 = (-12 \cdot 1 \cdot (-1)) + (-1 \cdot 1 \cdot 10) + (-2 \cdot (-1) \cdot 5) - (10 \cdot 1 \cdot 5) - (-1 \cdot (-2) \cdot (-1)) - (-12 \cdot 1 \cdot (-1)) \] \[ \Delta_1 = (12) + (-10) + (10) - (50) - (-2) - (12) \] \[ \Delta_1 = 12 - 10 + 10 - 50 + 2 - 12 = -48 \] Шаг 3. Вычислим определитель \( \Delta_2 \). Заменим второй столбец главного определителя на столбец свободных членов: \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & -12 & 5 \\ 3 & -2 & 1 \\ 5 & 10 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_2 = (1 \cdot (-2) \cdot (-1)) + (-12 \cdot 1 \cdot 5) + (3 \cdot 10 \cdot 5) - (5 \cdot (-2) \cdot 5) - (10 \cdot 1 \cdot 1) - (3 \cdot (-12) \cdot (-1)) \] \[ \Delta_2 = (2) + (-60) + (150) - (-50) - (10) - (36) \] \[ \Delta_2 = 2 - 60 + 150 + 50 - 10 - 36 = 96 \] Шаг 4. Вычислим определитель \( \Delta_3 \). Заменим третий столбец главного определителя на столбец свободных членов: \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -12 \\ 3 & 1 & -2 \\ 5 & -1 & 10 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_3 = (1 \cdot 1 \cdot 10) + (-1 \cdot (-2) \cdot 5) + (3 \cdot (-1) \cdot (-12)) - (5 \cdot 1 \cdot (-12)) - (-1 \cdot 3 \cdot 10) - (-1 \cdot (-2) \cdot 1) \] \[ \Delta_3 = (10) + (10) + (36) - (-60) - (-30) - (2) \] \[ \Delta_3 = 10 + 10 + 36 + 60 + 30 - 2 = 144 \] Шаг 5. Находим значения переменных по формулам Крамера: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-48}{-48} = 1 \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{96}{-48} = -2 \] \[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{144}{-48} = -3 \] Ответ: \( x_1 = 1, x_2 = -2, x_3 = -3 \).