Решение задачи: Фотоэффект для цинка

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь школьнику: Условие задачи: Определить красную границу фотоэффекта для цинка и максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с его поверхности электромагнитным излучением с длиной волны 250 нм. Решение задачи: 1. Запишем известные величины и константы: * Работа выхода для цинка \(A_{\text{вых}} = 3.74 \cdot 10^{-19}\) Дж (это значение обычно берется из справочника, в данном случае оно дано в решении). * Длина волны падающего излучения \(\lambda = 250\) нм \( = 250 \cdot 10^{-9}\) м. * Постоянная Планка \(h = 6.626 \cdot 10^{-34}\) Дж\(\cdot\)с. * Скорость света в вакууме \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с. * Масса электрона \(m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}\) кг. 2. Определим красную границу фотоэффекта (\(\lambda_{\text{кр}}\)). Красная граница фотоэффекта — это максимальная длина волны излучения, при которой еще возможен фотоэффект. При этой длине волны энергия фотона равна работе выхода, а кинетическая энергия вылетающих электронов равна нулю. Формула для работы выхода через красную границу: \[A_{\text{вых}} = h \nu_{\text{кр}}\] где \(\nu_{\text{кр}}\) — красная частота. Так как \(\nu_{\text{кр}} = \frac{c}{\lambda_{\text{кр}}}\), то: \[A_{\text{вых}} = \frac{h c}{\lambda_{\text{кр}}}\] Отсюда выразим \(\lambda_{\text{кр}}\): \[\lambda_{\text{кр}} = \frac{h c}{A_{\text{вых}}}\] Подставим значения: \[\lambda_{\text{кр}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3.74 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}\] \[\lambda_{\text{кр}} = \frac{1.9878 \cdot 10^{-25}}{3.74 \cdot 10^{-19}} \text{ м}\] \[\lambda_{\text{кр}} \approx 0.5315 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 531.5 \text{ нм}\] (В исходном решении используется значение \(3.74 \cdot (1.6 \cdot 10^{-19})\) для работы выхода, что соответствует переводу из электронвольт в джоули, если \(3.74\) это значение в эВ. Если \(A_{\text{вых}} = 3.74 \cdot 10^{-19}\) Дж, то расчет будет таким: \[\lambda_{\text{кр}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3.74 \cdot 10^{-19}} = \frac{1.9878 \cdot 10^{-25}}{3.74 \cdot 10^{-19}} \approx 5.315 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 531.5 \text{ нм}\] Если же \(A_{\text{вых}} = 3.74 \text{ эВ}\), то \(A_{\text{вых}} = 3.74 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 5.99 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}\). В исходном решении используется \(A_{\text{вых}} = 3.74 \cdot (1.6 \cdot 10^{-19})\) Дж. Давайте используем это значение: \[A_{\text{вых}} = 3.74 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} = 5.984 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}\] Тогда: \[\lambda_{\text{кр}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{5.984 \cdot 10^{-19}} = \frac{1.9878 \cdot 10^{-25}}{5.984 \cdot 10^{-19}} \approx 0.3322 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 332.2 \text{ нм}\] Это значение совпадает с результатом в исходном решении. Итак, красная граница фотоэффекта: \[\lambda_{\text{кр}} = 3.322 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 332.2 \text{ нм}\] 3. Определим максимальную скорость фотоэлектронов (\(v\)). Используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: \[h \nu = A_{\text{вых}} + \frac{m_e v^2}{2}\] где \(h \nu\) — энергия падающего фотона, \(A_{\text{вых}}\) — работа выхода, \(\frac{m_e v^2}{2}\) — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. Частота \(\nu\) связана с длиной волны \(\lambda\) соотношением \(\nu = \frac{c}{\lambda}\). Подставим это в уравнение: \[\frac{h c}{\lambda} = A_{\text{вых}} + \frac{m_e v^2}{2}\] Выразим кинетическую энергию: \[\frac{m_e v^2}{2} = \frac{h c}{\lambda} - A_{\text{вых}}\] Теперь выразим скорость \(v\): \[v^2 = \frac{2}{m_e} \left( \frac{h c}{\lambda} - A_{\text{вых}} \right)\] \[v = \sqrt{\frac{2}{m_e} \left( \frac{h c}{\lambda} - A_{\text{вых}} \right)}\] Подставим числовые значения: \[v = \sqrt{\frac{2}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \left( \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{250 \cdot 10^{-9} \text{ м}} - 5.984 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \right)}\] Вычислим энергию фотона: \[E_{\text{фотон}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{250 \cdot 10^{-9}} = \frac{1.9878 \cdot 10^{-25}}{2.5 \cdot 10^{-7}} = 0.79512 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} = 7.9512 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}\] Теперь подставим это в формулу для скорости: \[v = \sqrt{\frac{2}{9.11 \cdot 10^{-31}} \left( 7.9512 \cdot 10^{-19} - 5.984 \cdot 10^{-19} \right)}\] \[v = \sqrt{\frac{2}{9.11 \cdot 10^{-31}} \left( 1.9672 \cdot 10^{-19} \right)}\] \[v = \sqrt{\frac{3.9344 \cdot 10^{-19}}{9.11 \cdot 10^{-31}}}\] \[v = \sqrt{0.43187 \cdot 10^{12}}\] \[v = \sqrt{4.3187 \cdot 10^{11}}\] \[v \approx 6.5717 \cdot 10^5 \text{ м/с}\] (В исходном решении результат \(6.572 \cdot 10^5\), что совпадает с нашим расчетом). Ответ: Красная граница фотоэффекта для цинка составляет \(332.2\) нм. Максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цинка, составляет \(6.572 \cdot 10^5\) м/с.