Решение задач 1.1 и 1.2 по физике

Ниже представлено подробное решение задач 1.1 и 1.2, оформленное для записи в тетрадь. Дано: \(a = 0,10 \text{ мм} = 10^{-4} \text{ м}\) \(\gamma = 8,9 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3\) \(c = 0,38 \text{ кДж/(кг}\cdot^\circ\text{C)} = 380 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}\) \(\rho = 1,5 \cdot 10^{-8} \text{ Ом}\cdot\text{м}\) \(t_{пл} = 2,3 \cdot 10^2 \text{ }^\circ\text{C} = 230 \text{ }^\circ\text{C}\) \(t_0 = 0 \text{ }^\circ\text{C}\) \(\alpha = 8,5 \cdot 10^2 \text{ Вт/(м}^2\cdot^\circ\text{C)}\) Решение задачи 1.1: 1) При достижении установившейся температуры \(t_{max}\) мощность тепловыделения тока \(P_{выд}\) равна мощности теплоотдачи в окружающую среду \(P_{отд}\). Мощность тока: \[P_{выд} = I_1^2 R = I_1^2 \frac{\rho l}{S_{сеч}} = I_1^2 \frac{\rho l}{\pi a^2}\] Мощность теплоотдачи: \[P_{отд} = \frac{\Delta Q}{\Delta \tau} = \alpha S_{бок} (t_{max} - t_0) = \alpha (2 \pi a l) t_{max}\] Приравниваем их: \[I_1^2 \frac{\rho l}{\pi a^2} = 2 \pi a l \alpha t_{max}\] Отсюда выражаем \(t_{max}\): \[t_{max} = \frac{I_1^2 \rho}{2 \pi^2 a^3 \alpha}\] Подставим значения для \(I_1 = 10 \text{ А}\): \[t_{max} = \frac{10^2 \cdot 1,5 \cdot 10^{-8}}{2 \cdot 3,14^2 \cdot (10^{-4})^3 \cdot 8,5 \cdot 10^2} \approx \frac{1,5 \cdot 10^{-6}}{1,67 \cdot 10^{-8}} \approx 89,8 \text{ }^\circ\text{C}\] 2) Найдем время разогрева \(\tau_1\). Согласно модели, в начальный момент вся теплота идет на нагрев (теплоотдача мала): \[P_{выд} \cdot \tau_1 = m c (t_{max} - t_0)\] Масса предохранителя \(m = \gamma V = \gamma \pi a^2 l\). \[I_1^2 \frac{\rho l}{\pi a^2} \cdot \tau_1 = \gamma \pi a^2 l c t_{max}\] \[\tau_1 = \frac{\gamma \pi^2 a^4 c t_{max}}{I_1^2 \rho}\] Подставим \(t_{max}\) из предыдущей формулы: \[\tau_1 = \frac{\gamma \pi^2 a^4 c}{I_1^2 \rho} \cdot \frac{I_1^2 \rho}{2 \pi^2 a^3 \alpha} = \frac{\gamma a c}{2 \alpha}\] Вычислим: \[\tau_1 = \frac{8,9 \cdot 10^3 \cdot 10^{-4} \cdot 380}{2 \cdot 8,5 \cdot 10^2} \approx \frac{338,2}{1700} \approx 0,2 \text{ с}\] Ответ 1.1: \(t_{max} \approx 89,8 \text{ }^\circ\text{C}\); \(\tau_1 \approx 0,2 \text{ с}\). Решение задачи 1.2: 1) Предохранитель перегорит, если его установившаяся температура \(t_{max}\) достигнет температуры плавления \(t_{пл}\). Используем формулу для \(t_{max}\) из пункта 1.1: \[t_{пл} = \frac{I_{max1}^2 \rho}{2 \pi^2 a^3 \alpha}\] Выражаем критическую силу тока: \[I_{max1} = \sqrt{\frac{2 \pi^2 a^3 \alpha t_{пл}}{\rho}}\] Подставим значения: \[I_{max1} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3,14^2 \cdot (10^{-4})^3 \cdot 8,5 \cdot 10^2 \cdot 230}{1,5 \cdot 10^{-8}}} \approx \sqrt{\frac{3,85 \cdot 10^{-6}}{1,5 \cdot 10^{-8}}} \approx \sqrt{256,7} \approx 16 \text{ А}\] 2) Если радиус увеличить в два раза (\(a_2 = 2a\)), то из формулы видно, что \(I_{max}^2\) пропорционально \(a^3\). Следовательно: \[\frac{I_{max2}}{I_{max1}} = \sqrt{\frac{a_2^3}{a^3}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} \approx 2,83\] \[I_{max2} = I_{max1} \cdot \sqrt{8} \approx 16 \cdot 2,83 \approx 45,3 \text{ А}\] Ответ 1.2: \(I_{max1} \approx 16 \text{ А}\); \(I_{max2} \approx 45,3 \text{ А}\).