Расчет коэффициента перекрытия зубчатой передачи (Эпсилон Альфа)

Ниже представлено решение задачи по теории механизмов и машин (ТММ) для расчета коэффициента перекрытия зубчатой передачи. Задача №3 Дано: \(m = 12\) мм — модуль зацепления; \(\alpha = 20^\circ\) — угол профиля исходного контура; \(z_1 = 18\) — число зубьев шестерни; \(z_2 = 31\) — число зубьев колеса; \(h_a^* = 1,0\) — коэффициент высоты головки зуба. Найти: \(\varepsilon_\alpha\) — коэффициент перекрытия. Решение: Коэффициент перекрытия для прямозубой цилиндрической передачи определяется по формуле: \[ \varepsilon_\alpha = \frac{z_1 \cdot (\tan \alpha_{a1} - \tan \alpha) + z_2 \cdot (\tan \alpha_{a2} - \tan \alpha)}{2\pi} \] 1. Найдем углы профиля на вершинах зубьев шестерни (\(\alpha_{a1}\)) и колеса (\(\alpha_{a2}\)). Для этого сначала определим углы зацепления через основные и делительные радиусы. Формула для угла профиля на вершинах: \[ \cos \alpha_{ai} = \frac{z_i \cdot \cos \alpha}{z_i + 2 \cdot h_a^*} \] Для шестерни (\(z_1 = 18\)): \[ \cos \alpha_{a1} = \frac{18 \cdot \cos 20^\circ}{18 + 2 \cdot 1} = \frac{18 \cdot 0,9397}{20} = 0,8457 \] Отсюда \(\alpha_{a1} = \arccos(0,8457) \approx 32,25^\circ\). Находим тангенс: \(\tan \alpha_{a1} = \tan 32,25^\circ \approx 0,6310\). Для колеса (\(z_2 = 31\)): \[ \cos \alpha_{a2} = \frac{31 \cdot \cos 20^\circ}{31 + 2 \cdot 1} = \frac{31 \cdot 0,9397}{33} = 0,8827 \] Отсюда \(\alpha_{a2} = \arccos(0,8827) \approx 28,03^\circ\). Находим тангенс: \(\tan \alpha_{a2} = \tan 28,03^\circ \approx 0,5324\). 2. Значение тангенса угла профиля исходного контура: \[ \tan \alpha = \tan 20^\circ \approx 0,3640 \] 3. Подставляем полученные значения в общую формулу коэффициента перекрытия: \[ \varepsilon_\alpha = \frac{18 \cdot (0,6310 - 0,3640) + 31 \cdot (0,5324 - 0,3640)}{2 \cdot 3,1416} \] \[ \varepsilon_\alpha = \frac{18 \cdot 0,2670 + 31 \cdot 0,1684}{6,2832} \] \[ \varepsilon_\alpha = \frac{4,806 + 5,2204}{6,2832} = \frac{10,0264}{6,2832} \approx 1,595 \] Ответ: \(\varepsilon_\alpha \approx 1,60\). (Примечание: Так как \(\varepsilon_\alpha > 1\), условие непрерывности зацепления выполняется. В отечественном машиностроении расчеты производятся по ГОСТ, что гарантирует высокую надежность и точность механизмов).