Решение задачи Коши: y'' + y = 2cos x

Ниже представлено подробное пошаговое объяснение решений задач №3 и №4 из вашего билета. Задание 3. Решение задачи Коши \( y'' + y = 2\cos x \), \( y(0)=1 \), \( y'(0)=0 \). Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение состоит из двух этапов: нахождение общего решения однородного уравнения и нахождение частного решения неоднородного. Шаг 1: Решаем однородное уравнение \( y'' + y = 0 \). Составляем характеристическое уравнение, заменяя производные на степени \( k \): \[ k^2 + 1 = 0 \] \[ k^2 = -1 \Rightarrow k_{1,2} = \pm i \] Корни получились чисто мнимыми вида \( \alpha \pm i\beta \), где \( \alpha = 0 \), \( \beta = 1 \). Общее решение однородного уравнения записывается по формуле \( y_{оо} = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) \): \[ y_{оо} = C_1 \cos x + C_2 \sin x \] Шаг 2: Ищем частное решение \( y_{чн} \) для правой части \( 2\cos x \). Правая часть имеет вид \( f(x) = P(x) \cos(1 \cdot x) \). Так как число \( i \) (коэффициент при \( x \) в косинусе) совпадает с корнем характеристического уравнения, мы имеем случай резонанса. Поэтому частное решение ищем с дополнительным множителем \( x \): \[ y_{чн} = x(A \cos x + B \sin x) \] Чтобы найти коэффициенты \( A \) и \( B \), нужно подставить это выражение в исходное уравнение. Для этого найдем производные: \[ y'_{чн} = (A \cos x + B \sin x) + x(-A \sin x + B \cos x) \] \[ y''_{чн} = -A \sin x + B \cos x - A \sin x + B \cos x + x(-A \cos x - B \sin x) \] \[ y''_{чн} = -2A \sin x + 2B \cos x - x(A \cos x + B \sin x) \] Подставляем \( y''_{чн} \) и \( y_{чн} \) в уравнение \( y'' + y = 2\cos x \): \[ -2A \sin x + 2B \cos x - x(A \cos x + B \sin x) + x(A \cos x + B \sin x) = 2\cos x \] Слагаемые с \( x \) сокращаются: \[ -2A \sin x + 2B \cos x = 2\cos x \] Приравниваем коэффициенты: При \( \sin x \): \( -2A = 0 \Rightarrow A = 0 \) При \( \cos x \): \( 2B = 2 \Rightarrow B = 1 \) Значит, частное решение: \( y_{чн} = x \sin x \). Шаг 3: Общее решение и начальные условия. Складываем решения: \( y(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x \sin x \). Используем \( y(0) = 1 \): \[ 1 = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 + 0 \Rightarrow C_1 = 1 \] Находим производную общего решения: \[ y'(x) = -C_1 \sin x + C_2 \cos x + \sin x + x \cos x \] Используем \( y'(0) = 0 \): \[ 0 = -1 \cdot 0 + C_2 \cdot 1 + 0 + 0 \Rightarrow C_2 = 0 \] Итоговый ответ: \( y = \cos x + x \sin x \). Задание 4. Разложение в ряд функции \( y = \frac{x}{4+x^2} \) при \( a=0 \). Для решения используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[ \frac{1}{1-t} = 1 + t + t^2 + t^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} t^n \] Эта формула справедлива при \( |t| < 1 \). Шаг 1: Преобразование функции. Нам нужно привести знаменатель к виду \( 1 - t \). Вынесем 4 за скобки: \[ y = \frac{x}{4(1 + \frac{x^2}{4})} = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{1 - (-\frac{x^2}{4})} \] Теперь наша функция соответствует формуле, где \( t = -\frac{x^2}{4} \). Шаг 2: Разложение в ряд. Подставляем \( t \) в сумму: \[ y = \frac{x}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{x^2}{4} \right)^n = \frac{x}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n} \] Умножаем каждый член ряда на \( \frac{x}{4} \): \[ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{4^{n+1}} \] Шаг 3: Определение интервала сходимости. Ряд сходится, если модуль знаменателя прогрессии меньше единицы: \[ |t| < 1 \Rightarrow \left| -\frac{x^2}{4} \right| < 1 \] \[ \frac{x^2}{4} < 1 \Rightarrow x^2 < 4 \Rightarrow |x| < 2 \] Следовательно, интервал сходимости: \( (-2, 2) \).