Разложение в ряд Фурье функции f(x) = x на [-1, 1]

Задача: Разложить в ряд Фурье функцию \( f(x) = x \) на интервале \( [-1, 1] \) с периодом \( T = 2 \). Решение: 1. Определение параметров Период \( T = 2l = 2 \), следовательно, полупериод \( l = 1 \). 2. Анализ четности функции Функция \( f(x) = x \) является нечетной, так как \( f(-x) = -x = -f(x) \). Для нечетной функции коэффициенты \( a_0 \) и \( a_n \) равны нулю: \[ a_0 = 0 \] \[ a_n = 0 \] Следовательно, ряд Фурье будет содержать только синусы. 3. Вычисление коэффициента \( b_n \) Формула для коэффициента \( b_n \) при \( l = 1 \): \[ b_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin(n \pi x) dx = 2 \int_{0}^{1} x \sin(n \pi x) dx \] Применим метод интегрирования по частям. Пусть: \( u = x \), тогда \( du = dx \) \( dv = \sin(n \pi x) dx \), тогда \( v = -\frac{\cos(n \pi x)}{n \pi} \) \[ b_n = 2 \left[ -\frac{x \cos(n \pi x)}{n \pi} \bigg|_0^1 + \int_{0}^{1} \frac{\cos(n \pi x)}{n \pi} dx \right] \] Вычисляем первое слагаемое в скобках: \[ -\frac{1 \cdot \cos(n \pi)}{n \pi} + \frac{0 \cdot \cos(0)}{n \pi} = -\frac{(-1)^n}{n \pi} = \frac{(-1)^{n+1}}{n \pi} \] Вычисляем второе слагаемое (интеграл): \[ \int_{0}^{1} \frac{\cos(n \pi x)}{n \pi} dx = \frac{\sin(n \pi x)}{(n \pi)^2} \bigg|_0^1 = \frac{\sin(n \pi) - \sin(0)}{(n \pi)^2} = 0 \] (так как \( \sin(n \pi) = 0 \) для любого целого \( n \)). Итоговое значение \( b_n \): \[ b_n = 2 \cdot \frac{(-1)^{n+1}}{n \pi} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n \pi} \] 4. Запись ряда Фурье Общий вид ряда для нечетной функции: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(n \pi x) \] Подставляем найденный коэффициент: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n \pi} \sin(n \pi x) \] Или в развернутом виде: \[ f(x) = \frac{2}{\pi} \left( \sin(\pi x) - \frac{1}{2} \sin(2 \pi x) + \frac{1}{3} \sin(3 \pi x) - \dots \right) \] Ответ: \( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n \pi} \sin(n \pi x) \).