Разложение Фурье: Почему нижний предел интегрирования 0?

Это отличный вопрос, который часто возникает при изучении этой темы. Давайте разберем этот момент подробно, чтобы в тетради все было логично обосновано. В общем случае вы правы: коэффициенты вычисляются через интеграл от \( -l \) до \( l \). Однако для четных и нечетных функций расчет упрощается благодаря свойствам определенного интеграла на симметричном промежутке. 1. Свойство нечетной функции Функция \( f(x) = x \) — нечетная. Когда мы ищем коэффициент \( b_n \), мы умножаем ее на \( \sin(n \pi x) \), которая тоже является нечетной. Произведение двух нечетных функций всегда дает четную функцию: \[ \text{нечетная} \cdot \text{нечетная} = \text{четная} \] То есть функция \( \phi(x) = x \sin(n \pi x) \) является четной. 2. Упрощение интеграла Для любой четной функции \( \phi(x) \) на симметричном отрезке \( [-l, l] \) справедливо правило: \[ \int_{-l}^{l} \phi(x) dx = 2 \int_{0}^{l} \phi(x) dx \] Это происходит потому, что площади под графиком слева и справа от оси \( Oy \) абсолютно одинаковы. 3. Применение к нашей задаче По формуле Эйлера-Фурье: \[ b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} dx \] Так как подынтегральное выражение четное, мы переходим к удвоенному интегралу от \( 0 \) до \( l \): \[ b_n = \frac{1}{l} \cdot 2 \int_{0}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} dx = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} dx \] Именно поэтому в решении я сразу использовал формулу: \[ b_n = 2 \int_{0}^{1} x \sin(n \pi x) dx \] (так как \( l = 1 \)). Это стандартный прием в отечественной математической школе, который позволяет сократить объем вычислений и избежать лишних ошибок при подстановке отрицательных пределов интегрирования. В тетради можно просто сделать пометку: "в силу нечетности функции \( f(x) \)".