Решение задач на сложение и вычитание комплексных чисел

Вот решения задач по сложению, вычитанию и умножению комплексных чисел.

Произвести сложение и вычитание комплексных чисел:

166. \( (3 + 5i) + (7 - 2i) \) Для сложения комплексных чисел складываем отдельно их действительные части и мнимые части: \( (3 + 7) + (5i - 2i) = 10 + 3i \) 167. \( (6 + 2i) + (5 + 3i) \) Складываем действительные и мнимые части: \( (6 + 5) + (2i + 3i) = 11 + 5i \) 168. \( (-2 + 3i) + (7 - 2i) \) Складываем действительные и мнимые части: \( (-2 + 7) + (3i - 2i) = 5 + i \) 169. \( (5 - 4i) + (6 + 2i) \) Складываем действительные и мнимые части: \( (5 + 6) + (-4i + 2i) = 11 - 2i \) 170. \( (3 - 2i) - (5 + i) \) Для вычитания комплексных чисел вычитаем отдельно их действительные части и мнимые части: \( (3 - 5) + (-2i - i) = -2 - 3i \) 171. \( (4 + 2i) - (-3 + 2i) \) Вычитаем действительные и мнимые части: \( (4 - (-3)) + (2i - 2i) = (4 + 3) + 0i = 7 \) 172. \( (-5 + 2i) - (5 + 2i) \) Вычитаем действительные и мнимые части: \( (-5 - 5) + (2i - 2i) = -10 + 0i = -10 \) 173. \( (-3 - 5i) - (7 - 2i) \) Вычитаем действительные и мнимые части: \( (-3 - 7) + (-5i - (-2i)) = -10 + (-5i + 2i) = -10 - 3i \)

Произвести умножение комплексных чисел:

174. \( (2 + 3i)(5 - 7i) \) Используем правило умножения многочленов, помня, что \( i^2 = -1 \): \( 2 \cdot 5 + 2 \cdot (-7i) + 3i \cdot 5 + 3i \cdot (-7i) \) \( = 10 - 14i + 15i - 21i^2 \) \( = 10 + i - 21(-1) \) \( = 10 + i + 21 \) \( = 31 + i \) 175. \( (6 + 4i)(5 + 2i) \) Умножаем: \( 6 \cdot 5 + 6 \cdot 2i + 4i \cdot 5 + 4i \cdot 2i \) \( = 30 + 12i + 20i + 8i^2 \) \( = 30 + 32i + 8(-1) \) \( = 30 + 32i - 8 \) \( = 22 + 32i \) 176. \( (3 - 2i)(7 - i) \) Умножаем: \( 3 \cdot 7 + 3 \cdot (-i) + (-2i) \cdot 7 + (-2i) \cdot (-i) \) \( = 21 - 3i - 14i + 2i^2 \) \( = 21 - 17i + 2(-1) \) \( = 21 - 17i - 2 \) \( = 19 - 17i \) 177. \( (-2 + 3i)(3 + 5i) \) Умножаем: \( (-2) \cdot 3 + (-2) \cdot 5i + 3i \cdot 3 + 3i \cdot 5i \) \( = -6 - 10i + 9i + 15i^2 \) \( = -6 - i + 15(-1) \) \( = -6 - i - 15 \) \( = -21 - i \) 178. \( (1 - i)(1 + i) \) Это формула разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \( 1^2 - i^2 \) \( = 1 - (-1) \) \( = 1 + 1 \) \( = 2 \) 179. \( (3 + 2i)(1 + i) \) Умножаем: \( 3 \cdot 1 + 3 \cdot i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot i \) \( = 3 + 3i + 2i + 2i^2 \) \( = 3 + 5i + 2(-1) \) \( = 3 + 5i - 2 \) \( = 1 + 5i \) 180. \( (6 + 4i)3i \) Умножаем каждый член на \( 3i \): \( 6 \cdot 3i + 4i \cdot 3i \) \( = 18i + 12i^2 \) \( = 18i + 12(-1) \) \( = -12 + 18i \) 181. \( (2 - 3i)(-5i) \) Умножаем каждый член на \( -5i \): \( 2 \cdot (-5i) + (-3i) \cdot (-5i) \) \( = -10i + 15i^2 \) \( = -10i + 15(-1) \) \( = -15 - 10i \)