Решение задачи 12: Параллелограмм ABCD, нахождение площади ΔAOD

Вот решение задач. Задача 12. Дано: ABCD – параллелограмм. Периметр параллелограмма \(P_{ABCD} = 28\) см. AE – высота, опущенная из вершины A на сторону CD (или её продолжение). \(AE = 4\) см. \(BC = 8\) см. Найти: Площадь треугольника \( \triangle AOD \). Решение: 1. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, \(AD = BC = 8\) см. 2. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон: \(P_{ABCD} = 2 \cdot (AD + CD)\). Подставим известные значения: \(28 = 2 \cdot (8 + CD)\). Разделим обе части на 2: \(14 = 8 + CD\). Найдем сторону CD: \(CD = 14 - 8 = 6\) см. 3. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \(S_{ABCD} = \text{сторона} \cdot \text{высота, опущенная на эту сторону}\). В данном случае, высота \(AE\) опущена на сторону \(CD\). \(S_{ABCD} = CD \cdot AE = 6 \cdot 4 = 24\) см\(^2\). 4. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника. Это означает, что площади треугольников \( \triangle AOB \), \( \triangle BOC \), \( \triangle COD \) и \( \triangle DOA \) равны между собой. Следовательно, площадь каждого из этих треугольников равна одной четвертой части площади параллелограмма. \(S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4} S_{ABCD}\). \(S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6\) см\(^2\). Ответ: 6 Задача 14. Дано: ABCD – параллелограмм. На рисунке указаны длины отрезков на стороне BC: \(BK = 2\), \(KC = 4\). Угол \( \angle A = 150^\circ \). Отрезок \(DK\) является биссектрисой угла \( \angle D \). Найти: Площадь параллелограмма \(S_{ABCD}\). Решение: 1. В параллелограмме противоположные стороны равны. \(BC = BK + KC = 2 + 4 = 6\). Значит, \(AD = BC = 6\). 2. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). \( \angle A + \angle D = 180^\circ \). \(150^\circ + \angle D = 180^\circ \). \( \angle D = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \). 3. Поскольку \(DK\) – биссектриса угла \( \angle D \), она делит угол \( \angle D \) на два равных угла. \( \angle ADK = \angle KDC = \frac{1}{2} \angle D = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ \). 4. Рассмотрим треугольник \( \triangle KDC \). В параллелограмме \(AD \parallel BC\). \(DK\) – секущая. Углы \( \angle ADK \) и \( \angle DKC \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(DK\). Следовательно, \( \angle DKC = \angle ADK = 15^\circ \). 5. В треугольнике \( \triangle KDC \) мы имеем: \( \angle KDC = 15^\circ \) \( \angle DKC = 15^\circ \) Так как два угла в треугольнике равны, то треугольник \( \triangle KDC \) является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны: \(KC = CD\). Нам дано \(KC = 4\). Значит, \(CD = 4\). 6. Теперь у нас есть две смежные стороны параллелограмма: \(AD = 6\) и \(CD = 4\). Также известен угол между ними: \( \angle D = 30^\circ \). Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \(S_{ABCD} = AD \cdot CD \cdot \sin(\angle D)\). \(S_{ABCD} = 6 \cdot 4 \cdot \sin(30^\circ)\). Мы знаем, что \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \). \(S_{ABCD} = 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12\). Ответ: 12