Решение задачи 6.1: Теплоотдача от стенки к воздуху

Задача 6.1. Вдоль горячей стенки с постоянной температурой \(120^\circ \text{C}\) направлен поток воздуха со скоростью \(5 \text{ м/с}\). Определить средний коэффициент теплоотдачи от стенки к воздуху, если длина стенки \(2 \text{ м}\), а температура набегающего воздуха \(10^\circ \text{C}\). Определить местный коэффициент теплоотдачи и толщину гидродинамического пограничного слоя воздуха на расстоянии \(1 \text{ м}\) от начала стенки. Решение: 1. Определим характерную температуру для определения физических свойств воздуха. В данном случае это температура пленки: \[T_f = \frac{T_w + T_\infty}{2}\] где \(T_w\) – температура стенки, \(T_\infty\) – температура набегающего потока воздуха. \[T_f = \frac{120^\circ \text{C} + 10^\circ \text{C}}{2} = \frac{130^\circ \text{C}}{2} = 65^\circ \text{C}\] Переведем температуру в Кельвины: \[T_f = 65 + 273 = 338 \text{ К}\] 2. По таблицам для воздуха при температуре \(T_f = 65^\circ \text{C}\) (или \(338 \text{ К}\)) найдем следующие физические свойства: * Кинематическая вязкость \(\nu = 19.5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2/\text{с}\) * Коэффициент теплопроводности \(\lambda = 0.0293 \text{ Вт}/(\text{м} \cdot \text{К})\) * Число Прандтля \(\text{Pr} = 0.705\) 3. Определим режим течения, рассчитав число Рейнольдса для всей длины стенки: \[\text{Re}_L = \frac{u_\infty \cdot L}{\nu}\] где \(u_\infty\) – скорость набегающего потока, \(L\) – длина стенки. \[\text{Re}_L = \frac{5 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ м}}{19.5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2/\text{с}} = \frac{10}{19.5 \cdot 10^{-6}} \approx 5.13 \cdot 10^5\] Поскольку \(\text{Re}_L = 5.13 \cdot 10^5 < 5 \cdot 10^5\), течение является ламинарным по всей длине стенки. (Примечание: в некоторых источниках критическое число Рейнольдса для плоской пластины принимается до \(10^6\). Если принять \(5 \cdot 10^5\) как границу, то течение ламинарное. Если принять \(10^6\), то тоже ламинарное). 4. Определим средний коэффициент теплоотдачи \(\bar{\alpha}\). Для ламинарного течения на плоской пластине при постоянной температуре стенки используется формула: \[\overline{\text{Nu}}_L = 0.664 \cdot \text{Re}_L^{0.5} \cdot \text{Pr}^{1/3}\] \[\overline{\text{Nu}}_L = 0.664 \cdot (5.13 \cdot 10^5)^{0.5} \cdot (0.705)^{1/3}\] \[\overline{\text{Nu}}_L = 0.664 \cdot 716.24 \cdot 0.889 \approx 421.9\] Теперь найдем средний коэффициент теплоотдачи: \[\bar{\alpha} = \frac{\overline{\text{Nu}}_L \cdot \lambda}{L}\] \[\bar{\alpha} = \frac{421.9 \cdot 0.0293 \text{ Вт}/(\text{м} \cdot \text{К})}{2 \text{ м}} = \frac{12.36}{2} \approx 6.18 \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К})\] 5. Определим местный коэффициент теплоотдачи \(\alpha_x\) и толщину гидродинамического пограничного слоя \(\delta_x\) на расстоянии \(x = 1 \text{ м}\) от начала стенки. Сначала рассчитаем местное число Рейнольдса для \(x = 1 \text{ м}\): \[\text{Re}_x = \frac{u_\infty \cdot x}{\nu}\] \[\text{Re}_x = \frac{5 \text{ м/с} \cdot 1 \text{ м}}{19.5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2/\text{с}} = \frac{5}{19.5 \cdot 10^{-6}} \approx 2.56 \cdot 10^5\] Для ламинарного течения на плоской пластине местное число Нуссельта определяется по формуле: \[\text{Nu}_x = 0.332 \cdot \text{Re}_x^{0.5} \cdot \text{Pr}^{1/3}\] \[\text{Nu}_x = 0.332 \cdot (2.56 \cdot 10^5)^{0.5} \cdot (0.705)^{1/3}\] \[\text{Nu}_x = 0.332 \cdot 505.96 \cdot 0.889 \approx 149.1\] Теперь найдем местный коэффициент теплоотдачи: \[\alpha_x = \frac{\text{Nu}_x \cdot \lambda}{x}\] \[\alpha_x = \frac{149.1 \cdot 0.0293 \text{ Вт}/(\text{м} \cdot \text{К})}{1 \text{ м}} \approx 4.37 \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К})\] Для ламинарного течения на плоской пластине толщина гидродинамического пограничного слоя \(\delta_x\) определяется по формуле: \[\delta_x = \frac{5 \cdot x}{\text{Re}_x^{0.5}}\] \[\delta_x = \frac{5 \cdot 1 \text{ м}}{(2.56 \cdot 10^5)^{0.5}} = \frac{5}{505.96} \approx 0.00988 \text{ м}\] \[\delta_x \approx 9.88 \text{ мм}\] Ответ: 1. Средний коэффициент теплоотдачи от стенки к воздуху: \(\bar{\alpha} \approx 6.18 \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К})\). 2. Местный коэффициент теплоотдачи на расстоянии \(1 \text{ м}\) от начала стенки: \(\alpha_x \approx 4.37 \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К})\). 3. Толщина гидродинамического пограничного слоя на расстоянии \(1 \text{ м}\) от начала стенки: \(\delta_x \approx 9.88 \text{ мм}\).