Задача 1.174. Спутник вращается вокруг Земли в плоскости экватора. Определите высоту орбиты \(h\), если за сутки спутник совершает \(n = 14\) оборотов вокруг Земли.
Радиус Земли \(R_0 = 6,37\) Мм.
Дано:
- Количество оборотов за сутки \(n = 14\)
- Радиус Земли \(R_0 = 6,37\) Мм \( = 6,37 \cdot 10^6\) м
- Ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g = 9,81\) м/с\(^2\)
- Продолжительность суток \(T_0 = 24\) ч \( = 24 \cdot 3600\) с \( = 86400\) с
Найти:
- Высота орбиты \(h\)
Решение:
1. Определим период обращения спутника \(T\).
За одни сутки (время \(T_0\)) спутник совершает \(n\) оборотов. Значит, время одного оборота (период) будет:
\[T = \frac{T_0}{n}\] \[T = \frac{86400 \text{ с}}{14} \approx 6171,43 \text{ с}\]2. Для спутника, движущегося по круговой орбите, центростремительное ускорение создается силой гравитационного притяжения.
Согласно второму закону Ньютона:
\[F = ma\]Где \(F\) - сила гравитационного притяжения, \(m\) - масса спутника, \(a\) - центростремительное ускорение.
Сила гравитационного притяжения: \(F = G \frac{M_З m}{R^2}\), где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_З\) - масса Земли, \(R\) - радиус орбиты спутника.
Центростремительное ускорение: \(a = \frac{v^2}{R}\), где \(v\) - скорость спутника.
Также скорость спутника можно выразить через период обращения: \(v = \frac{2\pi R}{T}\).
Подставим выражение для скорости в формулу центростремительного ускорения:
\[a = \frac{\left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}\]Приравняем силу гравитационного притяжения к произведению массы на центростремительное ускорение:
\[G \frac{M_З m}{R^2} = m \frac{4\pi^2 R}{T^2}\]Сократим массу спутника \(m\) и выразим \(R^3\):
\[G \frac{M_З}{R^2} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}\] \[G M_З T^2 = 4\pi^2 R^3\] \[R^3 = \frac{G M_З T^2}{4\pi^2}\]3. Выразим произведение \(G M_З\) через ускорение свободного падения \(g\) на поверхности Земли.
На поверхности Земли сила тяжести равна \(F_g = G \frac{M_З m}{R_0^2}\), а также \(F_g = mg\).
Значит:
\[G \frac{M_З m}{R_0^2} = mg\] \[G M_З = g R_0^2\]4. Подставим выражение для \(G M_З\) в формулу для \(R^3\):
\[R^3 = \frac{g R_0^2 T^2}{4\pi^2}\]Отсюда найдем радиус орбиты \(R\):
\[R = \sqrt[3]{\frac{g R_0^2 T^2}{4\pi^2}}\]5. Вычислим радиус орбиты \(R\):
\[R = \sqrt[3]{\frac{9,81 \text{ м/с}^2 \cdot (6,37 \cdot 10^6 \text{ м})^2 \cdot (6171,43 \text{ с})^2}{4 \cdot (3,14159)^2}}\] \[R = \sqrt[3]{\frac{9,81 \cdot 40,5769 \cdot 10^{12} \cdot 38086500}{4 \cdot 9,8696}}\] \[R = \sqrt[3]{\frac{15230,6 \cdot 10^{12}}{39,4784}}\] \[R = \sqrt[3]{385,8 \cdot 10^{12} \text{ м}^3}\] \[R \approx 7,28 \cdot 10^6 \text{ м} = 7280 \text{ км}\]6. Высота орбиты \(h\) - это расстояние от поверхности Земли до спутника. Она равна радиусу орбиты минус радиус Земли:
\[h = R - R_0\] \[h = 7,28 \cdot 10^6 \text{ м} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = (7,28 - 6,37) \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = 0,91 \cdot 10^6 \text{ м} = 910 \text{ км}\]Проверка по формуле из условия:
В условии дана формула: \(h = \sqrt[3]{\frac{R_0^2 g T_0^2}{4\pi^2 n^2}} - R_0\)
Заметим, что \(T = \frac{T_0}{n}\), поэтому \(T^2 = \frac{T_0^2}{n^2}\).
Тогда формула из условия совпадает с нашей формулой для \(R\), если подставить \(T^2\):
\[R = \sqrt[3]{\frac{g R_0^2 T^2}{4\pi^2}}\]И тогда \(h = R - R_0\).
Подставим значения в формулу из условия:
\[h = \sqrt[3]{\frac{(6,37 \cdot 10^6 \text{ м})^2 \cdot 9,81 \text{ м/с}^2 \cdot (86400 \text{ с})^2}{4\pi^2 \cdot 14^2}} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = \sqrt[3]{\frac{40,5769 \cdot 10^{12} \cdot 9,81 \cdot 74649600}{4 \cdot (3,14159)^2 \cdot 196}} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = \sqrt[3]{\frac{2968,6 \cdot 10^{18}}{4 \cdot 9,8696 \cdot 196}} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = \sqrt[3]{\frac{2968,6 \cdot 10^{18}}{7738,8}} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = \sqrt[3]{0,3836 \cdot 10^{18}} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h \approx 7,26 \cdot 10^6 \text{ м} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h \approx 0,89 \cdot 10^6 \text{ м} = 890 \text{ км}\]Полученное значение \(h \approx 890\) км близко к значению 900 км, указанному в скобках в условии задачи. Небольшое расхождение может быть связано с округлениями или использованием разных значений констант (например, \(g\) или \(\pi\)).
Ответ:
Высота орбиты спутника составляет примерно 910 км (или 890 км, в зависимости от точности расчетов и используемых констант).