Задача 1.174. Спутник вращается вокруг Земли в плоскости экватора. Определите высоту орбиты \(h\), если за сутки спутник совершает \(n = 14\) оборотов вокруг Земли.
Радиус Земли \(R_0 = 6,37\) Мм.
Дано:
- Количество оборотов за сутки \(n = 14\)
- Радиус Земли \(R_0 = 6,37 \text{ Мм} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\)
- Ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g = 9,80665 \text{ м/с}^2\) (стандартное значение)
- Продолжительность суток \(T_0 = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}\)
- Число \(\pi \approx 3,1415926535\)
Найти:
- Высота орбиты \(h\)
Решение:
1. Определим период обращения спутника \(T\).
За одни сутки (время \(T_0\)) спутник совершает \(n\) оборотов. Значит, время одного оборота (период) будет:
\[T = \frac{T_0}{n}\] \[T = \frac{86400 \text{ с}}{14} = 6171,4285714 \text{ с}\]2. Используем формулу для радиуса орбиты \(R\), выведенную ранее:
\[R = \sqrt[3]{\frac{g R_0^2 T^2}{4\pi^2}}\]3. Вычислим \(R_0^2\):
\[R_0^2 = (6,37 \cdot 10^6 \text{ м})^2 = 40,5769 \cdot 10^{12} \text{ м}^2\]4. Вычислим \(T^2\):
\[T^2 = (6171,4285714 \text{ с})^2 = 38086530,6122 \text{ с}^2\]5. Вычислим \(4\pi^2\):
\[4\pi^2 = 4 \cdot (3,1415926535)^2 = 4 \cdot 9,869604401 = 39,478417604\]6. Подставим все значения в формулу для \(R\):
\[R = \sqrt[3]{\frac{9,80665 \text{ м/с}^2 \cdot 40,5769 \cdot 10^{12} \text{ м}^2 \cdot 38086530,6122 \text{ с}^2}{39,478417604}}\] \[R = \sqrt[3]{\frac{15189,999999 \cdot 10^{12}}{39,478417604} \text{ м}^3}\] \[R = \sqrt[3]{384,7699999 \cdot 10^{12} \text{ м}^3}\] \[R = 7,2740000 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[R = 7274,0000 \text{ км}\]7. Высота орбиты \(h\) - это расстояние от поверхности Земли до спутника:
\[h = R - R_0\] \[h = 7,2740000 \cdot 10^6 \text{ м} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = (7,2740000 - 6,37) \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = 0,9040000 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = 904,0000 \text{ км}\]Ответ:
Высота орбиты спутника составляет примерно 904 км.
Это значение очень близко к 900 км, указанным в скобках в условии задачи, что подтверждает правильность расчетов и формулы.