Задача 1.174. Спутник вращается вокруг Земли в плоскости экватора. Определите высоту орбиты \(h\), если за сутки спутник совершает \(n = 14\) оборотов вокруг Земли. Радиус Земли \(R_0 = 6,37\) Мм.
Дано:
\(n = 14\)
\(R_0 = 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\)
\(g = 9,81 \text{ м/с}^2\)
\(T_0 = 86400 \text{ с}\)
Найти: \(h\)
Решение:
1. Период обращения спутника:
\[T = \frac{T_0}{n} = \frac{86400}{14} \approx 6171,43 \text{ с}\]2. Радиус орбиты спутника (из 3-го закона Кеплера и закона всемирного тяготения):
\[R = \sqrt[3]{\frac{g R_0^2 T^2}{4\pi^2}}\] \[R = \sqrt[3]{\frac{9,81 \cdot (6,37 \cdot 10^6)^2 \cdot (6171,43)^2}{4 \cdot (3,14159)^2}}\] \[R \approx \sqrt[3]{\frac{9,81 \cdot 40,5769 \cdot 10^{12} \cdot 38086530}{39,4784}}\] \[R \approx \sqrt[3]{385,8 \cdot 10^{12} \text{ м}^3} \approx 7,28 \cdot 10^6 \text{ м} = 7280 \text{ км}\]3. Высота орбиты:
\[h = R - R_0\] \[h = 7,28 \cdot 10^6 \text{ м} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}\] \[h = 0,91 \cdot 10^6 \text{ м} = 910 \text{ км}\]Ответ: \(h \approx 910 \text{ км}\)