Решение уравнения 638 а) и б)

638. Решите уравнение: а) \(\frac{5}{y - 2} - \frac{4}{y - 3} = \frac{1}{y}\) Решение: 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): \(y \neq 2\), \(y \neq 3\), \(y \neq 0\). 2. Приведем дроби к общему знаменателю \(y(y - 2)(y - 3)\) и умножим на него обе части уравнения: \[5y(y - 3) - 4y(y - 2) = 1(y - 2)(y - 3)\] 3. Раскроем скобки: \[5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y = y^2 - 3y - 2y + 6\] \[y^2 - 7y = y^2 - 5y + 6\] 4. Перенесем слагаемые с \(y\) в одну сторону, а числа в другую: \[y^2 - 7y - y^2 + 5y = 6\] \[-2y = 6\] \[y = -3\] Число \(-3\) входит в ОДЗ. Ответ: \(-3\). б) \(\frac{1}{2(x + 1)} + \frac{1}{x + 2} = \frac{3}{x + 3}\) Решение: 1. ОДЗ: \(x \neq -1\), \(x \neq -2\), \(x \neq -3\). 2. Общий знаменатель: \(2(x + 1)(x + 2)(x + 3)\). Умножим на него: \[(x + 2)(x + 3) + 2(x + 1)(x + 3) = 3 \cdot 2(x + 1)(x + 2)\] 3. Раскроем скобки: \[(x^2 + 5x + 6) + 2(x^2 + 4x + 3) = 6(x^2 + 3x + 2)\] \[x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + 8x + 6 = 6x^2 + 18x + 12\] \[3x^2 + 13x + 12 = 6x^2 + 18x + 12\] 4. Приведем подобные: \[3x^2 - 6x^2 + 13x - 18x + 12 - 12 = 0\] \[-3x^2 - 5x = 0\] \[-x(3x + 5) = 0\] 5. Корни: \(x_1 = 0\) \(3x + 5 = 0 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x_2 = -1\frac{2}{3}\) Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: \(-1\frac{2}{3}; 0\). в) \(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{8}{x^3 - 4x}\) Решение: 1. Разложим знаменатели на множители: \(x^2 - 2x = x(x - 2)\) \(x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)\) 2. ОДЗ: \(x \neq 0\), \(x \neq 2\), \(x \neq -2\). 3. Общий знаменатель: \(x(x - 2)(x + 2)\). Умножим на него: \[1 \cdot x(x - 2) + 1 \cdot (x + 2) = 8\] 4. Раскроем скобки: \[x^2 - 2x + x + 2 = 8\] \[x^2 - x - 6 = 0\] 5. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\] \[x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2\] 6. Проверка по ОДЗ: \(x = 3\) — подходит. \(x = -2\) — не подходит (знаменатель обращается в ноль). Ответ: \(3\).