Решение задачи: Физический смысл постоянной Сезерленда

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Задача: Физический смысл постоянной Сезерленда?

Выберите один ответ:

1. Температура, при которой в случае постоянной молекулярной концентрации газа средняя длина свободного пути молекул уменьшается вдвое по сравнению со значением, соответствующим бесконечно большой температуре.
2. Температура, при которой в случае постоянной молекулярной концентрации газа средняя длина свободного пути молекул увеличивается вдвое по сравнению со значением, соответствующим нулевой температуре.
3. Температура, при которой в случае постоянной молекулярной концентрации газа средняя длина свободного пути молекул уменьшается вдвое по сравнению со значением, соответствующим нулевой температуре.
4. Температура, при которой в случае постоянной молекулярной концентрации газа средняя длина свободного пути молекул увеличивается вдвое по сравнению со значением, соответствующим бесконечно большой температуре.

Решение:

Для того чтобы понять физический смысл постоянной Сезерленда, необходимо обратиться к формуле для средней длины свободного пробега молекул газа, которая учитывает взаимодействие между молекулами.

Средняя длина свободного пробега (\(\lambda\)) — это среднее расстояние, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями с другими молекулами.

В простейшей модели, без учета межмолекулярного взаимодействия, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации молекул и квадрату их эффективного диаметра:

\[\lambda_0 = \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}\]

Где:

• \(d\) – эффективный диаметр молекулы
• \(n\) – концентрация молекул

Однако, для реальных газов, особенно при низких температурах, необходимо учитывать силы притяжения между молекулами. Для этого используется формула Сезерленда, которая модифицирует эффективное сечение столкновения и, соответственно, среднюю длину свободного пробега. Формула Сезерленда для вязкости (или теплопроводности, которая связана со средней длиной свободного пробега) часто включает поправку на температуру.

Модифицированная формула для средней длины свободного пробега с учетом постоянной Сезерленда \(C\) имеет вид:

\[\lambda = \lambda_0 \left(1 + \frac{C}{T}\right)\]

или, более точно, для коэффициента вязкости \(\eta\):

\[\eta = \eta_0 \frac{\sqrt{T}}{1 + C/T}\]

где \(\eta_0\) — константа, \(C\) — постоянная Сезерленда.

Из этой формулы видно, что при очень высоких температурах (\(T \to \infty\)), член \(C/T \to 0\), и \(\lambda \to \lambda_0\). Это означает, что при очень высоких температурах влияние межмолекулярных сил притяжения становится незначительным, и молекулы ведут себя как твердые шарики.

Рассмотрим, что происходит, когда \(T = C\):

Если \(T = C\), то \(\lambda = \lambda_0 \left(1 + \frac{C}{C}\right) = \lambda_0 (1 + 1) = 2\lambda_0\).

Это означает, что при температуре, равной постоянной Сезерленда, средняя длина свободного пробега увеличивается вдвое по сравнению со значением, которое было бы при бесконечно большой температуре (когда \(C/T \to 0\)).

Теперь проанализируем предложенные варианты:

1. Температура, при которой в случае постоянной молекулярной концентрации газа средняя длина свободного пути молекул уменьшается вдвое по сравнению со значением, соответствующим бесконечно большой температуре.

Неверно. При \(T=C\), \(\lambda\) увеличивается, а не уменьшается.

2. Температура, при которой в случае постоянной молекулярной концентрации газа средняя длина свободного пути молекул увеличивается вдвое по сравнению со значением, соответствующим нулевой температуре.

Неверно. Сравнение идет с бесконечно большой температурой, а не с нулевой. При нулевой температуре модель идеального газа неприменима, и длина свободного пробега стремится к нулю из-за сильного взаимодействия.

3. Температура, при которой в случае постоянной молекулярной концентрации газа средняя длина свободного пути молекул уменьшается вдвое по сравнению со значением, соответствующим нулевой температуре.

Неверно по тем же причинам, что и вариант 2.

4. Температура, при которой в случае постоянной молекулярной концентрации газа средняя длина свободного пути молекул увеличивается вдвое по сравнению со значением, соответствующим бесконечно большой температуре.

Этот вариант точно соответствует нашему анализу. При \(T = C\), \(\lambda = 2\lambda_0\), где \(\lambda_0\) — это длина свободного пробега при \(T \to \infty\).

Вывод:

Постоянная Сезерленда \(C\) характеризует температуру, при которой средняя длина свободного пробега молекул газа (или, что эквивалентно, коэффициент вязкости или теплопроводности) изменяется в два раза по сравнению с ее значением при очень высоких температурах, где межмолекулярные силы притяжения становятся пренебрежимо малыми.

Правильный ответ:

4. Температура, при которой в случае постоянной молекулярной концентрации газа средняя длина свободного пути молекул увеличивается вдвое по сравнению со значением, соответствующим бесконечно большой температуре.