Задача 6. Измеряемый ток имеет форму кривой, изображенной на рис.1.6. Определите, что покажет электромагнитный амперметр. Погрешностями прибора пренебречь.
Решение:
Электромагнитный амперметр измеряет действующее (среднеквадратичное) значение тока. Для периодического тока действующее значение \(I_{действ}\) определяется по формуле:
\[I_{действ} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2(t) dt}\]где \(T\) – период тока, \(i(t)\) – мгновенное значение тока.
Из графика (рис. 1.6) определяем параметры тока:
- Период \(T\):
Ток повторяется каждые 25 мс.
\(T = 25 \text{ мс} = 25 \cdot 10^{-3} \text{ с}\) - Значения тока \(i(t)\) на разных интервалах:
- От 0 до 5 мс: \(i(t) = 10 \text{ А}\)
- От 5 до 15 мс: \(i(t) = 0 \text{ А}\)
- От 15 до 20 мс: \(i(t) = 10 \text{ А}\)
- От 20 до 25 мс: \(i(t) = 0 \text{ А}\)
Вычислим интеграл \( \int_{0}^{T} i^2(t) dt \):
\[\int_{0}^{T} i^2(t) dt = \int_{0}^{5 \text{ мс}} (10 \text{ А})^2 dt + \int_{5 \text{ мс}}^{15 \text{ мс}} (0 \text{ А})^2 dt + \int_{15 \text{ мс}}^{20 \text{ мс}} (10 \text{ А})^2 dt + \int_{20 \text{ мс}}^{25 \text{ мс}} (0 \text{ А})^2 dt\]Учитывая, что \( \int_{t_1}^{t_2} C^2 dt = C^2 \cdot (t_2 - t_1) \), получаем:
\[\int_{0}^{T} i^2(t) dt = (10 \text{ А})^2 \cdot (5 \text{ мс} - 0 \text{ мс}) + 0 + (10 \text{ А})^2 \cdot (20 \text{ мс} - 15 \text{ мс}) + 0\] \[\int_{0}^{T} i^2(t) dt = 100 \text{ А}^2 \cdot 5 \text{ мс} + 100 \text{ А}^2 \cdot 5 \text{ мс}\] \[\int_{0}^{T} i^2(t) dt = 100 \text{ А}^2 \cdot (5 \cdot 10^{-3} \text{ с}) + 100 \text{ А}^2 \cdot (5 \cdot 10^{-3} \text{ с})\] \[\int_{0}^{T} i^2(t) dt = 0.5 \text{ А}^2 \cdot \text{ с} + 0.5 \text{ А}^2 \cdot \text{ с} = 1 \text{ А}^2 \cdot \text{ с}\]Теперь подставим полученное значение в формулу для действующего значения тока:
\[I_{действ} = \sqrt{\frac{1}{25 \cdot 10^{-3} \text{ с}} \cdot 1 \text{ А}^2 \cdot \text{ с}}\] \[I_{действ} = \sqrt{\frac{1}{0.025} \text{ А}^2}\] \[I_{действ} = \sqrt{40 \text{ А}^2}\] \[I_{действ} \approx 6.3245 \text{ А}\]Округлим до двух знаков после запятой:
\[I_{действ} \approx 6.32 \text{ А}\]Ответ: Электромагнитный амперметр покажет 6.32 А.