Решение задач по геометрии

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. --- Заголовок: Решение задач по геометрии --- 3. Выберите верное утверждение: * А) высота пирамиды называется апофемой; * Б) боковые грани усеченной пирамиды – прямоугольники; * В) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту; * Г) пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. * Д) усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Правильный ответ: **Г) пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник.** Пояснение: * Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины к стороне основания. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. * Боковые грани усеченной пирамиды – это трапеции, а не прямоугольники. * Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (для правильной пирамиды). * Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, и ее основания – правильные многоугольники. --- 4. Найти ребро куба, если площадь диагонального сечения равна \(4\sqrt{2}\) см\(^2\). Решение: Пусть ребро куба равно \(a\). Диагональное сечение куба – это прямоугольник, сторонами которого являются ребро куба \(a\) и диагональ грани куба. Диагональ грани куба \(d_{грани}\) находится по теореме Пифагора: \(d_{грани} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). Площадь диагонального сечения \(S_{сеч}\) равна произведению ребра куба на диагональ грани: \(S_{сеч} = a \cdot d_{грани} = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}\). По условию, \(S_{сеч} = 4\sqrt{2}\) см\(^2\). Приравниваем выражения для площади: \(a^2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\) Разделим обе части на \(\sqrt{2}\): \(a^2 = 4\) Извлекаем квадратный корень: \(a = \sqrt{4}\) \(a = 2\) см. Ответ: **А) 2 см** --- 5. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 10 см, 2 см, 5 см. Решение: Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \(a = 10\) см, \(b = 2\) см, \(c = 5\) см. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда \(S_{полн}\) вычисляется по формуле: \(S_{полн} = 2(ab + bc + ac)\). Подставляем значения: \(S_{полн} = 2(10 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 10 \cdot 5)\) \(S_{полн} = 2(20 + 10 + 50)\) \(S_{полн} = 2(80)\) \(S_{полн} = 160\) см\(^2\). Ответ: **Б) 160 см\(^2\)** --- 6. Высота прямой призмы равна 6 см, основание – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение: Высота призмы \(h = 6\) см. Основание – прямоугольный треугольник с катетами \(a = 3\) см и \(b = 4\) см. Для нахождения площади боковой поверхности призмы \(S_{бок}\) нам нужен периметр основания \(P_{осн}\). Сначала найдем гипотенузу \(c\) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) см. Периметр основания \(P_{осн}\) равен сумме длин всех сторон треугольника: \(P_{осн} = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12\) см. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: \(S_{бок} = P_{осн} \cdot h\). Подставляем значения: \(S_{бок} = 12 \cdot 6 = 72\) см\(^2\). Ответ: **Б) 72 см\(^2\)** --- 7. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 4 см, апофема равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. Решение: Правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат. Сторона основания \(a = 4\) см. Апофема \(l = 6\) см. Площадь основания \(S_{осн}\) – это площадь квадрата: \(S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16\) см\(^2\). Площадь боковой поверхности \(S_{бок}\) правильной пирамиды вычисляется по формуле: \(S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l\), где \(P_{осн}\) – периметр основания. Периметр основания \(P_{осн}\) для квадрата: \(P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4 = 16\) см. Теперь найдем \(S_{бок}\): \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48\) см\(^2\). Площадь полной поверхности пирамиды \(S_{полн}\) равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 16 + 48 = 64\) см\(^2\). Ответ: **В) 64 см\(^2\)** --- 8. Найдите площадь поверхности правильного икосаэдра, ребро которого равно 4 см. Решение: Правильный икосаэдр – это многогранник, состоящий из 20 правильных треугольников. Ребро икосаэдра \(a = 4\) см. Площадь одного правильного треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле: \(S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Подставляем значение \(a\): \(S_{треуг} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) см\(^2\). Площадь полной поверхности икосаэдра \(S_{полн}\) равна площади одного треугольника, умноженной на количество граней (20): \(S_{полн} = 20 \cdot S_{треуг} = 20 \cdot 4\sqrt{3} = 80\sqrt{3}\) см\(^2\). Ответ: **Б) \(80\sqrt{3}\) см\(^2\)** --- Дополнительная часть. 9. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в ее основании, и равны 12 см. Найдите высоту пирамиды. Решение: Пусть боковые ребра пирамиды равны \(L = 12\) см. Основание – прямоугольный треугольник. По условию, боковые ребра равны гипотенузе основания. Значит, гипотенуза основания \(c = 12\) см. Если все боковые ребра пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности около основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности \(R\) для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: \(R = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см. Высота пирамиды \(H\), боковое ребро \(L\) и радиус описанной окружности \(R\) образуют прямоугольный треугольник, где \(L\) – гипотенуза. По теореме Пифагора: \(H^2 + R^2 = L^2\) \(H^2 + 6^2 = 12^2\) \(H^2 + 36 = 144\) \(H^2 = 144 - 36\) \(H^2 = 108\) \(H = \sqrt{108}\) Разложим 108 на множители: \(108 = 36 \cdot 3\). \(H = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) см. Ответ: **А) \(6\sqrt{3}\) см** --- 10. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания равны 6 см и 3 см. Высота \(\sqrt{3}\). (Задача неполная, отсутствует вопрос. Предположим, нужно найти что-то, связанное с объемом или площадью. Если вопрос будет уточнен, я смогу дать полное решение.) Предположим, нужно найти объем усеченной пирамиды. Решение: Пусть \(a_1 = 6\) см – сторона нижнего основания. Пусть \(a_2 = 3\) см – сторона верхнего основания. Высота усеченной пирамиды \(h = \sqrt{3}\) см. Основания – правильные треугольники. Площадь нижнего основания \(S_1\): \(S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\) см\(^2\). Площадь верхнего основания \(S_2\): \(S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\) см\(^2\). Объем усеченной пирамиды \(V\) вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})\). Найдем \(\sqrt{S_1S_2}\): \(\sqrt{S_1S_2} = \sqrt{9\sqrt{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4}} = \sqrt{\frac{243}{4}} = \frac{\sqrt{243}}{2} = \frac{\sqrt{81 \cdot 3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}\) см\(^2\). Теперь подставим все значения в формулу объема: \(V = \frac{1}{3}\sqrt{3}\left(9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{2}\right)\) Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 4: \(9\sqrt{3} = \frac{36\sqrt{3}}{4}\) \(\frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{4}\) \(V = \frac{1}{3}\sqrt{3}\left(\frac{36\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{18\sqrt{3}}{4}\right)\) \(V = \frac{1}{3}\sqrt{3}\left(\frac{(36+9+18)\sqrt{3}}{4}\right)\) \(V = \frac{1}{3}\sqrt{3}\left(\frac{63\sqrt{3}}{4}\right)\) \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{63 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{4}\) \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{63 \cdot 3}{4}\) \(V = \frac{63}{4}\) \(V = 15.75\) см\(^3\). Ответ: (Если вопрос был про объем) Объем усеченной пирамиды равен \(15.75\) см\(^3\). --- Задачи, написанные от руки: Заголовок: Дополнительные задачи --- 9. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как \(1:2:4\), диагональ параллелепипеда равна \(\sqrt{189}\) см. Найти тангенс угла между диагональю и плоскостью основания. Решение: Пусть измерения параллелепипеда равны \(x\), \(2x\), \(4x\). Диагональ параллелепипеда \(D\) вычисляется по формуле: \(D = \sqrt{x^2 + (2x)^2 + (4x)^2}\) \(D = \sqrt{x^2 + 4x^2 + 16x^2}\) \(D = \sqrt{21x^2} = x\sqrt{21}\). По условию, \(D = \sqrt{189}\) см. Приравниваем выражения для диагонали: \(x\sqrt{21} = \sqrt{189}\) Возведем обе части в квадрат: \((x\sqrt{21})^2 = (\sqrt{189})^2\) \(21x^2 = 189\) \(x^2 = \frac{189}{21}\) \(x^2 = 9\) \(x = 3\) см. Таким образом, измерения параллелепипеда: \(a = x = 3\) см \(b = 2x = 2 \cdot 3 = 6\) см \(c = 4x = 4 \cdot 3 = 12\) см (это высота параллелепипеда). Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания – это угол между диагональю параллелепипеда и диагональю основания, проведенной из той же вершины. Пусть \(\alpha\) – искомый угол. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный: 1. Диагональю параллелепипеда \(D\). 2. Диагональю основания \(d_{осн}\). 3. Высотой параллелепипеда \(c\). Диагональ основания \(d_{осн}\) вычисляется по теореме Пифагора для сторон основания \(a\) и \(b\): \(d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45}\) см. Тангенс угла \(\alpha\) равен отношению противолежащего катета (высоты \(c\)) к прилежащему катету (диагонали основания \(d_{осн}\)): \(\tan \alpha = \frac{c}{d_{осн}}\) \(\tan \alpha = \frac{12}{\sqrt{45}}\) Упростим \(\sqrt{45}\): \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). \(\tan \alpha = \frac{12}{3\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}\) Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\): \(\tan \alpha = \frac{4\sqrt{5}}{5}\). Ответ: Тангенс угла между диагональю и плоскостью основания равен \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\). --- 10. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с боковыми ребрами угол 45°. Найти объем пирамиды. Решение: Пусть \(H = 10\) см – высота пирамиды. Угол между высотой и боковым ребром равен \(45^\circ\). Рассмотрим прямоуго