Решение контрольной работы: Механическое движение. Взаимодействие тел. Вариант 1

Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Контрольная работа по теме "Механическое движение. Взаимодействие тел" Вариант 1. 1. Автомобиль, двигаясь из состояния покоя, через 5 с приобретает скорость 30 м/с. С каким ускорением двигался автомобиль? Дано: \(t = 5\) с \(v = 30\) м/с \(v_0 = 0\) м/с (из состояния покоя) Найти: \(a\) Решение: Ускорение при прямолинейном равноускоренном движении определяется по формуле: \[a = \frac{v - v_0}{t}\] Подставляем значения: \[a = \frac{30 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{5 \text{ с}}\] \[a = \frac{30 \text{ м/с}}{5 \text{ с}}\] \[a = 6 \text{ м/с}^2\] Ответ: Ускорение автомобиля равно 6 м/с\(^2\). 2. Как изменится сила всемирного тяготения, если массу одного тела увеличить в 2 раза? Решение: Закон всемирного тяготения гласит: \[F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\] где \(F\) – сила тяготения, \(G\) – гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) – массы тел, \(r\) – расстояние между центрами тел. Если массу одного тела \(m_1\) увеличить в 2 раза, то новая масса будет \(m_1' = 2m_1\). Новая сила тяготения \(F'\) будет: \[F' = G \frac{(2m_1) m_2}{r^2}\] \[F' = 2 \left(G \frac{m_1 m_2}{r^2}\right)\] \[F' = 2F\] Таким образом, новая сила тяготения \(F'\) станет в 2 раза больше первоначальной силы \(F\). Ответ: Сила всемирного тяготения увеличится в 2 раза. 3. Лыжник съехал с горки за 10 с, двигаясь с постоянным ускорением 0,5 м/с\(^2\). Определите длину горки, если известно, что в начале спуска скорость лыжника была равна 2 м/с. Дано: \(t = 10\) с \(a = 0,5\) м/с\(^2\) \(v_0 = 2\) м/с Найти: \(S\) Решение: Длина горки (пройденный путь) при равноускоренном движении определяется по формуле: \[S = v_0 t + \frac{a t^2}{2}\] Подставляем значения: \[S = (2 \text{ м/с}) \cdot (10 \text{ с}) + \frac{(0,5 \text{ м/с}^2) \cdot (10 \text{ с})^2}{2}\] \[S = 20 \text{ м} + \frac{0,5 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ с}^2}{2}\] \[S = 20 \text{ м} + \frac{50 \text{ м}}{2}\] \[S = 20 \text{ м} + 25 \text{ м}\] \[S = 45 \text{ м}\] Ответ: Длина горки равна 45 м. 4. Камень упал со скалы и достиг дна ущелья через 30 с. Определите скорость камня в момент падения. (Начальную скорость считать равной нулю.) Дано: \(t = 30\) с \(v_0 = 0\) м/с \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (ускорение свободного падения) Найти: \(v\) Решение: При свободном падении движение является равноускоренным с ускорением \(g\). Скорость в момент падения определяется по формуле: \[v = v_0 + g t\] Подставляем значения: \[v = 0 \text{ м/с} + (9,8 \text{ м/с}^2) \cdot (30 \text{ с})\] \[v = 294 \text{ м/с}\] Ответ: Скорость камня в момент падения равна 294 м/с. 5. Найти центростремительное ускорение автомобиля, совершающего разворот радиусом 10 м со скоростью 36 км/час. Дано: \(R = 10\) м \(v = 36\) км/час Найти: \(a_ц\) Решение: Сначала переведем скорость из км/час в м/с: \[v = 36 \text{ км/час} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}\] Центростремительное ускорение определяется по формуле: \[a_ц = \frac{v^2}{R}\] Подставляем значения: \[a_ц = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м}}\] \[a_ц = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м}}\] \[a_ц = 10 \text{ м/с}^2\] Ответ: Центростремительное ускорение автомобиля равно 10 м/с\(^2\). 6. Сила 30 Н сжимает стальную пружину на 5 см. Определите жесткость пружины. Дано: \(F = 30\) Н \(\Delta x = 5\) см Найти: \(k\) Решение: Сначала переведем деформацию из см в м: \[\Delta x = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}\] Согласно закону Гука, сила упругости прямо пропорциональна деформации: \[F = k \Delta x\] Отсюда жесткость пружины: \[k = \frac{F}{\Delta x}\] Подставляем значения: \[k = \frac{30 \text{ Н}}{0,05 \text{ м}}\] \[k = 600 \text{ Н/м}\] Ответ: Жесткость пружины равна 600 Н/м. 7. Автомобиль массой 1,5 т, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, по горизонтальному пути под действием силы тяги 3 кН, приобрел скорость 36 км/ч. Не учитывая сопротивление движению, определите, через сколько секунд эта скорость была достигнута? Дано: \(m = 1,5\) т \(v_0 = 0\) м/с (из состояния покоя) \(F = 3\) кН \(v = 36\) км/ч Найти: \(t\) Решение: Сначала переведем единицы измерения в СИ: \[m = 1,5 \text{ т} = 1,5 \cdot 1000 \text{ кг} = 1500 \text{ кг}\] \[F = 3 \text{ кН} = 3 \cdot 1000 \text{ Н} = 3000 \text{ Н}\] \[v = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}\] По второму закону Ньютона, ускорение автомобиля: \[a = \frac{F}{m}\] \[a = \frac{3000 \text{ Н}}{1500 \text{ кг}}\] \[a = 2 \text{ м/с}^2\] Время, за которое была достигнута скорость, при равноускоренном движении: \[v = v_0 + a t\] Так как \(v_0 = 0\), то: \[v = a t\] \[t = \frac{v}{a}\] Подставляем значения: \[t = \frac{10 \text{ м/с}}{2 \text{ м/с}^2}\] \[t = 5 \text{ с}\] Ответ: Скорость 36 км/ч была достигнута через 5 секунд. 8. На горизонтальном полу стоит ящик массой 20 кг. Какую силу необходимо приложить к нему в горизонтальном направлении, чтобы он двигался с ускорением 4 м/с\(^2\)? Коэффициент трения между полом и ящиком 0,2. Дано: \(m = 20\) кг \(a = 4\) м/с\(^2\) \(\mu = 0,2\) (коэффициент трения) \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) Найти: \(F_{прил}\) Решение: На ящик действуют следующие силы: 1. Сила тяжести \(F_т = mg\), направленная вниз. 2. Сила нормальной реакции опоры \(N\), направленная вверх. 3. Сила трения скольжения \(F_{тр}\), направленная против движения. 4. Приложенная сила \(F_{прил}\), направленная по движению. В вертикальном направлении ящик не движется, поэтому силы уравновешены: \[N - F_т = 0 \Rightarrow N = F_т = mg\] \[N = 20 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 196 \text{ Н}\] Сила трения скольжения: \[F_{тр} = \mu N\] \[F_{тр} = 0,2 \cdot 196 \text{ Н} = 39,2 \text{ Н}\] В горизонтальном направлении, согласно второму закону Ньютона: \[F_{прил} - F_{тр} = ma\] Отсюда искомая приложенная сила: \[F_{прил} = ma + F_{тр}\] Подставляем значения: \[F_{прил} = (20 \text{ кг}) \cdot (4 \text{ м/с}^2) + 39,2 \text{ Н}\] \[F_{прил} = 80 \text{ Н} + 39,2 \text{ Н}\] \[F_{прил} = 119,2 \text{ Н}\] Ответ: Необходимо приложить силу 119,2 Н.