Решение задачи 15: Объем многогранника

Задача 15. (ОБЗ) Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCD A₁B₁C₁D₁, у которого AB=8, BC=4, BB₁=6.

Решение:

Данный многогранник является пирамидой с основанием ABCD и вершиной B₁.

1. Основанием пирамиды является прямоугольник ABCD. Его стороны: AB = 8 BC = 4

2. Площадь основания \(S_{осн}\) прямоугольника ABCD: \(S_{осн} = AB \cdot BC = 8 \cdot 4 = 32\)

3. Высота пирамиды \(h\) — это длина ребра BB₁, так как BB₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD. \(h = BB_1 = 6\)

4. Объём пирамиды \(V\) вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\)

5. Подставим значения: \(V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 6 = 32 \cdot 2 = 64\)

Ответ: 64.

Задача 16. Дана правильная четырёхугольная призма ABCD A₁B₁C₁D₁, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A₁, B₁.

Решение:

1. Многогранник, вершинами которого являются A, B, C, A₁, B₁, представляет собой призму с основанием ABC и высотой AA₁.

2. Так как призма ABCD A₁B₁C₁D₁ правильная четырёхугольная, её основание ABCD — квадрат. Площадь основания \(S_{ABCD} = 9\). Значит, сторона квадрата \(a = \sqrt{9} = 3\). То есть AB = BC = 3.

3. Треугольник ABC является прямоугольным, так как ABCD — квадрат. Катеты AB = 3 и BC = 3. Площадь треугольника ABC: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5\)

4. Высота новой призмы (многогранника A B C A₁B₁) — это боковое ребро исходной призмы, то есть AA₁. \(h = AA_1 = 8\)

5. Объём призмы \(V\) вычисляется по формуле: \(V = S_{осн} \cdot h\)

6. Подставим значения: \(V = S_{ABC} \cdot AA_1 = 4.5 \cdot 8 = 36\)

Ответ: 36.

Задача 17. (ОБЗ) В прямоугольном параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ известно, что AB=8, BC=6, AA₁=4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁.

Решение:

1. Многогранник, вершинами которого являются A, B, C, B₁, представляет собой пирамиду с основанием ABC и вершиной B₁.

2. Основанием пирамиды является треугольник ABC. Так как ABCD A₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, то основание ABCD — прямоугольник. Значит, угол ABC прямой. Треугольник ABC — прямоугольный.

3. Катеты треугольника ABC: AB = 8 BC = 6

4. Площадь основания \(S_{осн}\) треугольника ABC: \(S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\)

5. Высота пирамиды \(h\) — это длина ребра BB₁, так как BB₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD. \(h = BB_1 = AA_1 = 4\)

6. Объём пирамиды \(V\) вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\)

7. Подставим значения: \(V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32\)

Ответ: 32.

Задача 18. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5. Боковое ребро призмы равно 9. Найдите объём призмы.

Решение:

1. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5.

2. Площадь основания \(S_{осн}\) треугольника: \(S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot катет_1 \cdot катет_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = \frac{20}{2} = 10\)

3. Высота призмы \(h\) — это длина бокового ребра. \(h = 9\)

4. Объём призмы \(V\) вычисляется по формуле: \(V = S_{осн} \cdot h\)

5. Подставим значения: \(V = 10 \cdot 9 = 90\)

Ответ: 90.

Задача 19. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 7, объём призмы равен 84. Найдите боковое ребро призмы.

Решение:

1. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 и 7.

2. Площадь основания \(S_{осн}\) треугольника: \(S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot катет_1 \cdot катет_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 = \frac{21}{2} = 10.5\)

3. Объём призмы \(V\) равен 84.

4. Формула для объёма призмы: \(V = S_{осн} \cdot h\)

5. Нам нужно найти высоту призмы \(h\), которая является длиной бокового ребра. Выразим \(h\) из формулы: \(h = \frac{V}{S_{осн}}\)

6. Подставим значения: \(h = \frac{84}{10.5}\)

7. Вычислим: \(h = \frac{84}{\frac{21}{2}} = \frac{84 \cdot 2}{21} = \frac{168}{21} = 8\)

Ответ: 8.

Задача 20. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра которой равны 3, найдите угол между прямыми CC₁ и AB₁.

Решение:

1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 3. Это означает, что AB = BC = CA = AA₁ = BB₁ = CC₁ = 3.

2. Прямая CC₁ является боковым ребром призмы. Прямая BB₁ также является боковым ребром и параллельна CC₁. Поэтому угол между прямыми CC₁ и AB₁ равен углу между прямыми BB₁ и AB₁.

3. Рассмотрим треугольник ABB₁. AB = 3 (ребро основания) BB₁ = 3 (боковое ребро) Так как призма прямая, боковое ребро BB₁ перпендикулярно плоскости основания ABC. Значит, BB₁ перпендикулярно AB.

4. Треугольник ABB₁ является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

5. Нам нужно найти угол между BB₁ и AB₁, то есть угол \( \angle BB_1A \).

6. В прямоугольном треугольнике ABB₁: Катет AB = 3 Катет BB₁ = 3

7. Тангенс угла \( \angle BB_1A \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \tan(\angle BB_1A) = \frac{AB}{BB_1} = \frac{3}{3} = 1 \)

8. Угол, тангенс которого равен 1, это 45 градусов. \( \angle BB_1A = 45^\circ \)

Ответ: 45 градусов.