Задача 15. (ОБЗ) Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCD A1B1C1D1, у которого AB=8, BC=4, BB1=6.
Пояснение формул:
1. Что такое многогранник A, B, C, D, B1?
Это пирамида. Её основанием является четырёхугольник ABCD, а вершиной — точка B1. Представьте себе прямоугольник ABCD, лежащий на столе, и точку B1, находящуюся над одной из вершин этого прямоугольника (в данном случае, над B).
2. Как найти площадь основания пирамиды?
Основание нашей пирамиды — это прямоугольник ABCD. Площадь прямоугольника находится по формуле: \[S_{прямоугольника} = длина \cdot ширина\] В нашей задаче длина — это сторона AB, а ширина — это сторона BC. Нам дано: AB = 8 и BC = 4. Значит, площадь основания \(S_{осн}\) будет: \[S_{осн} = AB \cdot BC = 8 \cdot 4 = 32\] Единицы измерения площади будут квадратными (например, см2, если стороны даны в см).
3. Что такое высота пирамиды?
Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания. В нашем случае вершина пирамиды — это B1, а основание — прямоугольник ABCD. Поскольку ABCD A1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, все его боковые рёбра (AA1, BB1, CC1, DD1) перпендикулярны плоскостям оснований (ABCD и A1B1C1D1). Поэтому ребро BB1 является высотой нашей пирамиды, так как оно соединяет вершину B1 с точкой B, которая лежит в плоскости основания ABCD, и перпендикулярно этой плоскости. Нам дано: BB1 = 6. Значит, высота пирамиды \(h\) будет: \[h = BB_1 = 6\] Единицы измерения высоты будут линейными (например, см).
4. Как найти объём пирамиды?
Объём любой пирамиды вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\] Где: \(V\) — это объём пирамиды. \(S_{осн}\) — это площадь её основания. \(h\) — это высота пирамиды.
5. Подставляем значения и вычисляем:
Мы нашли: \(S_{осн} = 32\) \(h = 6\) Теперь подставим эти значения в формулу объёма: \[V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 6\] Сначала можно умножить 32 на 6: \(32 \cdot 6 = 192\) Затем разделить на 3: \(V = \frac{1}{3} \cdot 192 = \frac{192}{3} = 64\) Единицы измерения объёма будут кубическими (например, см3).
Итоговое решение с формулами:
1. Основание многогранника — прямоугольник ABCD. Стороны основания: AB = 8, BC = 4. Площадь основания \(S_{осн}\) вычисляется как произведение сторон прямоугольника: \[S_{осн} = AB \cdot BC = 8 \cdot 4 = 32\]
2. Высота многогранника (пирамиды) — это длина ребра BB1, так как оно перпендикулярно основанию. Высота \(h = BB_1 = 6\)
3. Объём пирамиды \(V\) вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\]
4. Подставим найденные значения: \[V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 6\] \[V = \frac{192}{3}\] \[V = 64\]
Ответ: 64.