Решение задачи: Механическое движение. Ускорение

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. Контрольная работа по теме "Механическое движение. Взаимодействие тел" Вариант 1. 1. Автомобиль, двигаясь из состояния покоя, через 5 с приобретает скорость 30 м/с. С каким ускорением двигался автомобиль? Дано: Начальная скорость \(v_0 = 0\) м/с (из состояния покоя) Время \(t = 5\) с Конечная скорость \(v = 30\) м/с Найти: Ускорение \(a\) Решение: Для равноускоренного движения без начальной скорости формула для конечной скорости выглядит так: \(v = a \cdot t\) Отсюда выразим ускорение: \(a = \frac{v}{t}\) Подставим значения: \(a = \frac{30 \text{ м/с}}{5 \text{ с}}\) \(a = 6 \text{ м/с}^2\) Ответ: Автомобиль двигался с ускорением 6 м/с\(^2\). 2. Как изменится сила всемирного тяготения, если массу одного тела увеличить в 2 раза? Дано: Масса одного тела увеличивается в 2 раза. Пусть начальные массы тел \(m_1\) и \(m_2\). Новые массы тел \(m'_1 = 2m_1\) и \(m'_2 = m_2\). Найти: Как изменится сила всемирного тяготения \(F\). Решение: Формула закона всемирного тяготения: \(F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\) Где \(G\) – гравитационная постоянная, \(r\) – расстояние между центрами масс тел. Начальная сила тяготения: \(F_1 = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\) Новая сила тяготения после увеличения массы одного тела: \(F_2 = G \frac{m'_1 m'_2}{r^2} = G \frac{(2m_1) m_2}{r^2} = 2 \cdot G \frac{m_1 m_2}{r^2}\) Сравнивая \(F_1\) и \(F_2\), видим, что: \(F_2 = 2 F_1\) Ответ: Сила всемирного тяготения увеличится в 2 раза. 3. Лыжник съехал с горки за 10 с, двигаясь с постоянным ускорением 0,5 м/с\(^2\). Определите длину горки, если известно, что в начале спуска скорость лыжника была равна 2 м/с. Дано: Время \(t = 10\) с Ускорение \(a = 0,5\) м/с\(^2\) Начальная скорость \(v_0 = 2\) м/с Найти: Длина горки (пройденный путь) \(S\) Решение: Для равноускоренного движения формула для пройденного пути: \(S = v_0 t + \frac{a t^2}{2}\) Подставим значения: \(S = (2 \text{ м/с}) \cdot (10 \text{ с}) + \frac{(0,5 \text{ м/с}^2) \cdot (10 \text{ с})^2}{2}\) \(S = 20 \text{ м} + \frac{0,5 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ с}^2}{2}\) \(S = 20 \text{ м} + \frac{50 \text{ м}}{2}\) \(S = 20 \text{ м} + 25 \text{ м}\) \(S = 45 \text{ м}\) Ответ: Длина горки составляет 45 м. 4. Камень упал со скалы и достиг дна ущелья через 30 с. Определите скорость камня в момент падения. (Начальную скорость считать равной нулю.) Дано: Время падения \(t = 30\) с Начальная скорость \(v_0 = 0\) м/с Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (если не указано иное, обычно принимают 10 м/с\(^2\) для упрощения расчетов, но будем использовать 9,8 м/с\(^2\)). Найти: Скорость камня в момент падения \(v\) Решение: Для равноускоренного движения (свободного падения) без начальной скорости формула для конечной скорости: \(v = g \cdot t\) Подставим значения: \(v = (9,8 \text{ м/с}^2) \cdot (30 \text{ с})\) \(v = 294 \text{ м/с}\) Ответ: Скорость камня в момент падения составила 294 м/с. 5. Найти центростремительное ускорение автомобиля, совершающего разворот радиусом 10 м со скоростью 36 км/час. Дано: Радиус разворота \(R = 10\) м Скорость \(v = 36\) км/час Найти: Центростремительное ускорение \(a_ц\) Решение: Сначала переведем скорость из км/час в м/с: \(v = 36 \text{ км/час} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{36000}{3600} \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}\) Формула для центростремительного ускорения: \(a_ц = \frac{v^2}{R}\) Подставим значения: \(a_ц = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м}}\) \(a_ц = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м}}\) \(a_ц = 10 \text{ м/с}^2\) Ответ: Центростремительное ускорение автомобиля составляет 10 м/с\(^2\). 6. Сила 30 Н сжимает стальную пружину на 5 см. Определите жесткость пружины. Дано: Сила \(F = 30\) Н Деформация пружины \(\Delta x = 5\) см Найти: Жесткость пружины \(k\) Решение: Сначала переведем деформацию из см в м: \(\Delta x = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}\) Согласно закону Гука, сила, сжимающая или растягивающая пружину, пропорциональна ее деформации: \(F = k \cdot \Delta x\) Отсюда выразим жесткость пружины: \(k = \frac{F}{\Delta x}\) Подставим значения: \(k = \frac{30 \text{ Н}}{0,05 \text{ м}}\) \(k = 600 \text{ Н/м}\) Ответ: Жесткость пружины составляет 600 Н/м. 7. Автомобиль массой 1,5 т, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, по горизонтальному пути под действием силы тяги 3 кН, приобрел скорость 36 км/ч. Не учитывая сопротивление движению, определите, через сколько секунд эта скорость была достигнута? Дано: Масса автомобиля \(m = 1,5\) т Начальная скорость \(v_0 = 0\) м/с (из состояния покоя) Сила тяги \(F_{тяги} = 3\) кН Конечная скорость \(v = 36\) км/ч Найти: Время \(t\) Решение: Сначала переведем все величины в систему СИ: Масса \(m = 1,5 \text{ т} = 1,5 \cdot 1000 \text{ кг} = 1500 \text{ кг}\) Сила тяги \(F_{тяги} = 3 \text{ кН} = 3 \cdot 1000 \text{ Н} = 3000 \text{ Н}\) Конечная скорость \(v = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}\) По второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: \(F_{тяги} = m \cdot a\) Отсюда найдем ускорение: \(a = \frac{F_{тяги}}{m}\) \(a = \frac{3000 \text{ Н}}{1500 \text{ кг}}\) \(a = 2 \text{ м/с}^2\) Теперь, зная ускорение и начальную и конечную скорости, найдем время: \(v = v_0 + a \cdot t\) Так как \(v_0 = 0\), то: \(v = a \cdot t\) Отсюда выразим время: \(t = \frac{v}{a}\) \(t = \frac{10 \text{ м/с}}{2 \text{ м/с}^2}\) \(t = 5 \text{ с}\) Ответ: Скорость 36 км/ч была достигнута через 5 секунд. 8. На горизонтальном полу стоит ящик массой 20 кг. Какую силу необходимо приложить к нему в горизонтальном направлении, чтобы он двигался с ускорением 4 м/с\(^2\)? Коэффициент трения между полом и ящиком 0,2. Дано: Масса ящика \(m = 20\) кг Ускорение \(a = 4\) м/с\(^2\) Коэффициент трения \(\mu = 0,2\) Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (будем использовать 9,8 м/с\(^2\)). Найти: Приложенная сила \(F_{прил}\) Решение: На ящик действуют следующие силы: 1. Сила тяжести \(F_т = m \cdot g\), направленная вниз. 2. Сила нормальной реакции опоры \(N\), направленная вверх. 3. Сила трения скольжения \(F_{тр}\), направленная против движения. 4. Приложенная сила \(F_{прил}\), направленная в сторону движения. Поскольку ящик движется по горизонтальной поверхности, силы по вертикали уравновешены: \(N - F_т = 0 \Rightarrow N = F_т = m \cdot g\) \(N = 20 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 196 \text{ Н}\) Сила трения скольжения определяется по формуле: \(F_{тр} = \mu \cdot N\) \(F_{тр} = 0,2 \cdot 196 \text{ Н} = 39,2 \text{ Н}\) По второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих в горизонтальном направлении, равна произведению массы на ускорение: \(F_{прил} - F_{тр} = m \cdot a\) Отсюда выразим приложенную силу: \(F_{прил} = m \cdot a + F_{тр}\) Подставим значения: \(F_{прил} = (20 \text{ кг}) \cdot (4 \text{ м/с}^2) + 39,2 \text{ Н}\) \(F_{прил} = 80 \text{ Н} + 39,2 \text{ Н}\) \(F_{прил} = 119,2 \text{ Н}\) Ответ: Необходимо приложить силу 119,2 Н.