Решение задач с рисунком: Многогранники (НПО, 2 курс)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. НПО 2 курс КТ № 2 Тема «Многогранники» Вариант 4. Обязательная часть. 1. Сколько граней у шестиугольной пирамиды? Решение: У пирамиды есть основание и боковые грани. Основание шестиугольной пирамиды – это шестиугольник, то есть 1 грань. Боковые грани – это треугольники, количество которых равно количеству сторон основания. У шестиугольника 6 сторон, значит, 6 боковых граней. Общее количество граней = количество граней основания + количество боковых граней. Общее количество граней = \(1 + 6 = 7\). Ответ: Б) 7 2. Какое наименьшее число ребер может иметь призма? Решение: Призма состоит из двух оснований и боковых ребер. Наименьшее количество сторон у многоугольника – 3 (треугольник). Если основание призмы – треугольник, то: Количество ребер в одном основании = 3. Количество ребер в двух основаниях = \(3 \times 2 = 6\). Количество боковых ребер = количество сторон основания = 3. Общее количество ребер = количество ребер в основаниях + количество боковых ребер. Общее количество ребер = \(6 + 3 = 9\). Ответ: А) 9 3. Выберите верное утверждение: Решение: Рассмотрим каждое утверждение: А) высота пирамиды называется апофемой; – Неверно. Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины к стороне основания. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Б) боковые грани усеченной пирамиды – прямоугольники; – Неверно. Боковые грани усеченной пирамиды – это трапеции. В) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту; – Неверно. Это формула для площади боковой поверхности прямой призмы. Для пирамиды площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему (для правильной пирамиды). Г) пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник; – Неверно. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр этого многоугольника. Д) усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. – Верно. По определению, правильная усеченная пирамида получается из правильной пирамиды путем отсечения верхней части плоскостью, параллельной основанию. Ответ: Д) усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. 4. Найти ребро куба, если площадь диагонального сечения равна \(4\sqrt{2}\) см\(^2\). Решение: Пусть ребро куба равно \(a\). Диагональное сечение куба – это прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника – это ребро куба, то есть \(a\). Вторая сторона этого прямоугольника – это диагональ грани куба. Диагональ грани куба \(d_{грани}\) находится по теореме Пифагора: \(d_{грани} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). Площадь диагонального сечения \(S_{сеч}\) равна произведению его сторон: \(S_{сеч} = a \times a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}\). По условию, \(S_{сеч} = 4\sqrt{2}\) см\(^2\). Значит, \(a^2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\): \(a^2 = 4\). Извлечем квадратный корень: \(a = \sqrt{4}\). \(a = 2\) см (так как длина ребра не может быть отрицательной). Ответ: А) 2 см 5. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 10см, 2см, 5см. Решение: Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда: длина \(l = 10\) см, ширина \(w = 2\) см, высота \(h = 5\) см. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда \(S_{полн}\) вычисляется по формуле: \(S_{полн} = 2(lw + lh + wh)\). Подставим значения: \(S_{полн} = 2(10 \times 2 + 10 \times 5 + 2 \times 5)\). \(S_{полн} = 2(20 + 50 + 10)\). \(S_{полн} = 2(80)\). \(S_{полн} = 160\) см\(^2\). Ответ: Б) 160см\(^2\); 6. Высота прямой призмы равна 6 см, основание – прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение: Высота прямой призмы \(h = 6\) см. Основание – прямоугольный треугольник с катетами \(a = 3\) см и \(b = 4\) см. Площадь боковой поверхности прямой призмы \(S_{бок}\) вычисляется по формуле: \(S_{бок} = P_{осн} \times h\), где \(P_{осн}\) – периметр основания. Сначала найдем гипотенузу \(c\) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\). \(c^2 = 3^2 + 4^2\). \(c^2 = 9 + 16\). \(c^2 = 25\). \(c = \sqrt{25}\). \(c = 5\) см. Теперь найдем периметр основания \(P_{осн}\): \(P_{осн} = a + b + c\). \(P_{осн} = 3 + 4 + 5\). \(P_{осн} = 12\) см. Теперь найдем площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = P_{осн} \times h\). \(S_{бок} = 12 \times 6\). \(S_{бок} = 72\) см\(^2\). Ответ: Б) 72 см\(^2\);