ЗАДАНИЕ №1
Плиточник должен уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Решение:
Пусть плиточник планирует укладывать \(x\) м2 плитки в день.
Тогда запланированное время работы составляет:
\[ \frac{175}{x} \text{ дней} \]
Если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, то его производительность будет \(x + 10\) м2 в день.
В этом случае время работы составит:
\[ \frac{175}{x + 10} \text{ дней} \]
По условию задачи, во втором случае он закончит работу на 2 дня раньше. Значит, разница во времени составляет 2 дня:
\[ \frac{175}{x} - \frac{175}{x + 10} = 2 \]
Приведем дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{175(x + 10) - 175x}{x(x + 10)} = 2 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{175x + 1750 - 175x}{x^2 + 10x} = 2 \]
Упростим числитель:
\[ \frac{1750}{x^2 + 10x} = 2 \]
Умножим обе части уравнения на \(x^2 + 10x\):
\[ 1750 = 2(x^2 + 10x) \]
Разделим обе части на 2:
\[ 875 = x^2 + 10x \]
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ x^2 + 10x - 875 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-875) \]
\[ D = 100 + 3500 \]
\[ D = 3600 \]
Найдем корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{3600} = 60 \]
Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[ x_1 = \frac{-10 + 60}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25 \]
\[ x_2 = \frac{-10 - 60}{2 \cdot 1} = \frac{-70}{2} = -35 \]
Производительность не может быть отрицательной, поэтому \(x = 25\).
Ответ: 25 м2
ЗАДАНИЕ №2
На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
Решение:
Пусть второй рабочий делает \(x\) деталей в час.
Тогда первый рабочий делает \(x + 3\) детали в час.
Время, которое тратит первый рабочий на изготовление 475 деталей:
\[ T_1 = \frac{475}{x + 3} \text{ часов} \]
Время, которое тратит второй рабочий на изготовление 550 деталей:
\[ T_2 = \frac{550}{x} \text{ часов} \]
По условию задачи, первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй. Значит:
\[ T_2 - T_1 = 6 \]
\[ \frac{550}{x} - \frac{475}{x + 3} = 6 \]
Приведем дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{550(x + 3) - 475x}{x(x + 3)} = 6 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{550x + 1650 - 475x}{x^2 + 3x} = 6 \]
Упростим числитель:
\[ \frac{75x + 1650}{x^2 + 3x} = 6 \]
Умножим обе части уравнения на \(x^2 + 3x\):
\[ 75x + 1650 = 6(x^2 + 3x) \]
\[ 75x + 1650 = 6x^2 + 18x \]
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ 6x^2 + 18x - 75x - 1650 = 0 \]
\[ 6x^2 - 57x - 1650 = 0 \]
Разделим все члены на 3 для упрощения:
\[ 2x^2 - 19x - 550 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-550) \]
\[ D = 361 + 4400 \]
\[ D = 4761 \]
Найдем корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{4761} = 69 \]
Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[ x_1 = \frac{-(-19) + 69}{2 \cdot 2} = \frac{19 + 69}{4} = \frac{88}{4} = 22 \]
\[ x_2 = \frac{-(-19) - 69}{2 \cdot 2} = \frac{19 - 69}{4} = \frac{-50}{4} = -12.5 \]
Производительность не может быть отрицательной, поэтому \(x = 22\).
Это производительность второго рабочего. Нас спрашивают, сколько деталей за час делает первый рабочий.
Производительность первого рабочего: \(x + 3 = 22 + 3 = 25\) деталей в час.
Ответ: 25 деталей
ЗАДАНИЕ №3
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 96 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 70 литров?
Решение:
Пусть вторая труба пропускает \(x\) литров воды в минуту.
Тогда первая труба пропускает \(x - 2\) литра воды в минуту.
Время, за которое первая труба заполняет резервуар объемом 96 литров:
\[ T_1 = \frac{96}{x - 2} \text{ минут} \]
Время, за которое вторая труба заполняет резервуар объемом 70 литров:
\[ T_2 = \frac{70}{x} \text{ минут} \]
По условию задачи, первая труба заполняет свой резервуар на 3 минуты дольше, чем вторая труба заполняет свой резервуар. Значит:
\[ T_1 - T_2 = 3 \]
\[ \frac{96}{x - 2} - \frac{70}{x} = 3 \]
Приведем дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{96x - 70(x - 2)}{x(x - 2)} = 3 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{96x - 70x + 140}{x^2 - 2x} = 3 \]
Упростим числитель:
\[ \frac{26x + 140}{x^2 - 2x} = 3 \]
Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 2x\):
\[ 26x + 140 = 3(x^2 - 2x) \]
\[ 26x + 140 = 3x^2 - 6x \]
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ 3x^2 - 6x - 26x - 140 = 0 \]
\[ 3x^2 - 32x - 140 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-140) \]
\[ D = 1024 + 1680 \]
\[ D = 2704 \]
Найдем корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52 \]
Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[ x_1 = \frac{-(-32) + 52}{2 \cdot 3} = \frac{32 + 52}{6} = \frac{84}{6} = 14 \]
\[ x_2 = \frac{-(-32) - 52}{2 \cdot 3} = \frac{32 - 52}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \]
Скорость пропускания воды не может быть отрицательной, поэтому \(x = 14\).
Это скорость второй трубы. Нас спрашивают, сколько литров воды в минуту пропускает первая труба.
Скорость первой трубы: \(x - 2 = 14 - 2 = 12\) литров в минуту.
Ответ: 12 л
ЗАДАНИЕ №4
Первый рабочий за час делает на 14 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 168 деталей, на 16 часов быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ.
Пусть первый рабочий делает за час \(x\) деталей. Составьте верное уравнение для данной задачи.
Решение:
Пусть первый рабочий делает за час \(x\) деталей.
По условию, первый рабочий делает на 14 деталей больше, чем второй. Значит, второй рабочий делает за час \(x - 14\) деталей.
Объем заказа для обоих рабочих составляет 168 деталей.
Время, за которое первый рабочий выполняет заказ:
\[ T_1 = \frac{168}{x} \text{ часов} \]
Время, за которое второй рабочий выполняет заказ:
\[ T_2 = \frac{168}{x - 14} \text{ часов} \]
По условию задачи, первый рабочий выполняет заказ на 16 часов быстрее, чем второй. Это означает, что время второго рабочего больше времени первого рабочего на 16 часов:
\[ T_2 - T_1 = 16 \]
Подставим выражения для \(T_1\) и \(T_2\):
\[ \frac{168}{x - 14} - \frac{168}{x} = 16 \]
Это и есть верное уравнение для данной задачи.
Ответ: \[ \frac{168}{x - 14} - \frac{168}{x} = 16 \]