Решение задач по теоретической механике (Статика). Вариант 28

Решение задач по теоретической механике (Статика). Вариант 28. Задача №1 Дано: \(q = 3 \, \text{кН/м}\) \(P = 10 \, \text{кН}\) \(M = 2 \, \text{кНм}\) \(\alpha = 60^{\circ}\) Размеры указаны на схеме. Найти: реакции в заделке \(A\). Решение: Рассмотрим равновесие рамы. В жесткой заделке \(A\) возникают три реакции: горизонтальная сила \(X_A\), вертикальная сила \(Y_A\) и реактивный момент \(M_A\). Заменим распределенную нагрузку \(q\) сосредоточенной силой \(Q\): \[Q = q \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{кН}\] Точка приложения \(Q\) находится посередине левого участка (на расстоянии 1 м от края). Составим уравнения равновесия: 1) Сумма проекций всех сил на ось \(x\): \[\sum F_{ix} = 0 \Rightarrow X_A - P \cdot \cos(\alpha) = 0\] \[X_A = P \cdot \cos(60^{\circ}) = 10 \cdot 0,5 = 5 \, \text{кН}\] 2) Сумма проекций всех сил на ось \(y\): \[\sum F_{iy} = 0 \Rightarrow Y_A - Q - P \cdot \sin(\alpha) = 0\] \[Y_A = Q + P \cdot \sin(60^{\circ}) = 6 + 10 \cdot 0,866 = 14,66 \, \text{кН}\] 3) Сумма моментов относительно точки \(A\): \[\sum M_A = 0 \Rightarrow M_A + M - Q \cdot 1 + P \cdot \sin(\alpha) \cdot 4 = 0\] (Примечание: плечо силы \(Q\) относительно \(A\) равно 1 м, плечо вертикальной составляющей \(P\) равно 4 м, горизонтальная составляющая \(P\) проходит через \(A\) и момент не создает). \[M_A = Q \cdot 1 - M - P \cdot \sin(60^{\circ}) \cdot 4\] \[M_A = 6 \cdot 1 - 2 - 10 \cdot 0,866 \cdot 4 = 6 - 2 - 34,64 = -30,64 \, \text{кНм}\] Знак минус означает, что реальное направление момента противоположно выбранному. Ответ: \(X_A = 5 \, \text{кН}\), \(Y_A = 14,66 \, \text{кН}\), \(M_A = -30,64 \, \text{кНм}\). Задача №2 Дано: \(G = 3 \, \text{кН}\) \(P = 5 \, \text{кН}\) \(M = 2 \, \text{кНм}\) Углы: \(60^{\circ}\) и \(30^{\circ}\). Найти: реакции опор \(A\) (шарнирно-неподвижная) и \(B\) (шарнирно-подвижная). Решение: В опоре \(A\) возникают реакции \(X_A, Y_A\). В опоре \(B\) — вертикальная реакция \(R_B\). Сила натяжения троса \(T = G = 3 \, \text{кН}\). Эта сила приложена к точке на вертикальной стойке под углом \(60^{\circ}\) к вертикали. Составим уравнения равновесия: 1) Сумма проекций на ось \(x\): \[\sum F_{ix} = 0 \Rightarrow X_A + T \cdot \sin(60^{\circ}) - P \cdot \cos(30^{\circ}) = 0\] \[X_A = P \cdot \cos(30^{\circ}) - T \cdot \sin(60^{\circ}) = 5 \cdot 0,866 - 3 \cdot 0,866 = 1,732 \, \text{кН}\] 2) Сумма моментов относительно точки \(A\): \[\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \cdot 6 - M - P \cdot \sin(30^{\circ}) \cdot 3 - P \cdot \cos(30^{\circ}) \cdot 4 + T \cdot \sin(60^{\circ}) \cdot 2 = 0\] (Плечо \(R_B\) равно 6, плечо вертикальной \(P\) равно 3, плечо горизонтальной \(P\) равно 4, плечо горизонтальной \(T\) равно 2). \[6 R_B = 2 + 5 \cdot 0,5 \cdot 3 + 5 \cdot 0,866 \cdot 4 - 3 \cdot 0,866 \cdot 2\] \[6 R_B = 2 + 7,5 + 17,32 - 5,196 = 21,624\] \[R_B = 3,604 \, \text{кН}\] 3) Сумма проекций на ось \(y\): \[\sum F_{iy} = 0 \Rightarrow Y_A + R_B - T \cdot \cos(60^{\circ}) - P \cdot \sin(30^{\circ}) = 0\] \[Y_A = T \cdot \cos(60^{\circ}) + P \cdot \sin(30^{\circ}) - R_B\] \[Y_A = 3 \cdot 0,5 + 5 \cdot 0,5 - 3,604 = 1,5 + 2,5 - 3,604 = 0,396 \, \text{кН}\] Ответ: \(X_A = 1,732 \, \text{кН}\), \(Y_A = 0,396 \, \text{кН}\), \(R_B = 3,604 \, \text{кН}\).