Решение задач по кинематике. Вариант 26. Задачи №3 и №4

Решение задач по кинематике. Вариант 26. Задача №3 Дано: \(R_1 = 0,3 \, \text{м}\) \(R_2 = 0,2 \, \text{м}\) \(AC = 0,2 \, \text{м}\) \(\varphi = \frac{\pi t^3}{4} \, \text{рад}\) \(t_1 = 5 \, \text{с}\) Найти: Скорость и ускорение точки \(C\) в момент времени \(t_1\). Решение: 1. Найдем угловую скорость колеса 2 (\(\omega_2\)). Колесо 2 вращается вокруг неподвижной оси \(D\). \[\omega_2 = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi t^3}{4} \right) = \frac{3\pi t^2}{4} \, \text{рад/с}\] При \(t_1 = 5 \, \text{с}\): \[\omega_2 = \frac{3\pi \cdot 5^2}{4} = \frac{75\pi}{4} = 18,75\pi \approx 58,9 \, \text{рад/с}\] 2. Найдем угловое ускорение колеса 2 (\(\varepsilon_2\)): \[\varepsilon_2 = \frac{d\omega_2}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{3\pi t^2}{4} \right) = \frac{6\pi t}{4} = 1,5\pi t \, \text{рад/с}^2\] При \(t_1 = 5 \, \text{с}\): \[\varepsilon_2 = 1,5\pi \cdot 5 = 7,5\pi \approx 23,56 \, \text{рад/с}^2\] 3. Колеса 1 и 2 находятся в зацеплении. Скорость в точке касания одинакова: \[v = \omega_2 \cdot R_2 = \omega_1 \cdot R_1 \Rightarrow \omega_1 = \omega_2 \cdot \frac{R_2}{R_1}\] \[\omega_1 = 18,75\pi \cdot \frac{0,2}{0,3} = 12,5\pi \approx 39,27 \, \text{рад/с}\] Аналогично для углового ускорения: \[\varepsilon_1 = \varepsilon_2 \cdot \frac{R_2}{R_1} = 7,5\pi \cdot \frac{0,2}{0,3} = 5\pi \approx 15,71 \, \text{рад/с}^2\] 4. Определим скорость точки \(C\) (на колесе 1): \[v_C = \omega_1 \cdot AC = 12,5\pi \cdot 0,2 = 2,5\pi \approx 7,85 \, \text{м/с}\] 5. Определим ускорение точки \(C\). Оно состоит из вращательного (тангенциального) и центростремительного (нормального): \[a_C^{\tau} = \varepsilon_1 \cdot AC = 5\pi \cdot 0,2 = \pi \approx 3,14 \, \text{м/с}^2\] \[a_C^n = \omega_1^2 \cdot AC = (12,5\pi)^2 \cdot 0,2 = 156,25\pi^2 \cdot 0,2 = 31,25\pi^2 \approx 308,4 \, \text{м/с}^2\] Полное ускорение: \[a_C = \sqrt{(a_C^{\tau})^2 + (a_C^n)^2} = \sqrt{3,14^2 + 308,4^2} \approx 308,42 \, \text{м/с}^2\] Ответ: \(v_C \approx 7,85 \, \text{м/с}\), \(a_C \approx 308,42 \, \text{м/с}^2\). Задача №4 Дано: \(OA = 0,05 \, \text{м}\) \(AB = BD = 0,2 \, \text{м}\) \(AC = 0,15 \, \text{м}\) \(\omega_{OA} = 120 \, \text{рад/с} = \text{const}\) Углы: \(45^{\circ}\) Найти: Скорость точки \(C\) (\(v_C\)). Решение: 1. Определим скорость точки \(A\). Кривошип \(OA\) вращается вокруг \(O\): \[v_A = \omega_{OA} \cdot OA = 120 \cdot 0,05 = 6 \, \text{м/с}\] Вектор \(v_A\) перпендикулярен \(OA\). 2. Рассмотрим механизм \(ABD\). Точка \(D\) неподвижна (шарнир). Значит, стержень \(BD\) вращается вокруг \(D\). Скорость \(v_B\) перпендикулярна \(BD\). Для стержня \(AB\) найдем мгновенный центр скоростей (МЦС). Вектор \(v_A\) направлен под углом \(45^{\circ}\) к горизонту (перпендикулярно \(OA\)). Вектор \(v_B\) направлен под углом \(45^{\circ}\) к горизонту (перпендикулярно \(BD\)). Так как \(v_A \parallel v_B\), стержень \(AB\) в данный момент совершает мгновенно-поступательное движение (МЦС находится в бесконечности). 3. При мгновенно-поступательном движении скорости всех точек звена равны: \[v_B = v_A = 6 \, \text{м/с}\] \[v_C = v_A = 6 \, \text{м/с}\] Ответ: \(v_C = 6 \, \text{м/с}\).