Решение задачи №2 по кинематике (Вариант 26)

Решение задач по кинематике. Вариант 26. Задача №2 Дано: \(R_1 = 0,1 \, \text{м}\) \(R_2 = 0,4 \, \text{м}\) \(r_2 = 0,15 \, \text{м}\) \(S = 10t^3 + 80t \, \text{см} = 0,1t^3 + 0,8t \, \text{м}\) \(t_1 = 5 \, \text{с}\) Найти: Скорость и ускорение точки \(M\) на ободе колеса 1. Решение: 1. Найдем скорость груза 3, которая равна линейной скорости точек на малом радиусе \(r_2\) колеса 2: \[v_3 = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(0,1t^3 + 0,8t) = 0,3t^2 + 0,8 \, \text{м/с}\] При \(t_1 = 5 \, \text{с}\): \[v_3 = 0,3 \cdot 5^2 + 0,8 = 7,5 + 0,8 = 8,3 \, \text{м/с}\] 2. Найдем угловую скорость колеса 2: \[\omega_2 = \frac{v_3}{r_2} = \frac{8,3}{0,15} \approx 55,33 \, \text{рад/с}\] 3. Колеса 1 и 2 соприкасаются внешним образом, значит скорости в точке касания равны: \[v = \omega_2 \cdot R_2 = \omega_1 \cdot R_1\] \[\omega_1 = \omega_2 \cdot \frac{R_2}{R_1} = 55,33 \cdot \frac{0,4}{0,1} = 55,33 \cdot 4 = 221,32 \, \text{рад/с}\] 4. Скорость точки \(M\) на ободе колеса 1: \[v_M = \omega_1 \cdot R_1 = 221,32 \cdot 0,1 = 22,132 \, \text{м/с}\] 5. Найдем ускорения. Ускорение груза: \[a_3 = \frac{dv_3}{dt} = 0,6t\] При \(t_1 = 5 \, \text{с}\): \(a_3 = 0,6 \cdot 5 = 3 \, \text{м/с}^2\). Угловое ускорение колеса 2: \(\varepsilon_2 = \frac{a_3}{r_2} = \frac{3}{0,15} = 20 \, \text{рад/с}^2\). Угловое ускорение колеса 1: \(\varepsilon_1 = \varepsilon_2 \cdot \frac{R_2}{R_1} = 20 \cdot 4 = 80 \, \text{рад/с}^2\). 6. Ускорение точки \(M\): \[a_M^{\tau} = \varepsilon_1 \cdot R_1 = 80 \cdot 0,1 = 8 \, \text{м/с}^2\] \[a_M^n = \omega_1^2 \cdot R_1 = (221,32)^2 \cdot 0,1 \approx 4898,25 \, \text{м/с}^2\] \[a_M = \sqrt{(a_M^{\tau})^2 + (a_M^n)^2} \approx 4898,26 \, \text{м/с}^2\] Ответ: \(v_M \approx 22,13 \, \text{м/с}\), \(a_M \approx 4898,26 \, \text{м/с}^2\). Задача №3 Дано: \(R_1 = 0,3 \, \text{м}\) \(R_2 = 0,2 \, \text{м}\) \(AC = 0,2 \, \text{м}\) \(\varphi = \frac{\pi t^3}{4} \, \text{рад}\) \(t_1 = 5 \, \text{с}\) Найти: Скорость и ускорение точки \(C\). Решение: 1. Угловая скорость и ускорение ведущего колеса 2 (вокруг точки \(D\)): \[\omega_2 = \dot{\varphi} = \frac{3\pi t^2}{4}\] При \(t = 5\): \(\omega_2 = \frac{3\pi \cdot 25}{4} = 18,75\pi \approx 58,9 \, \text{рад/с}\). \[\varepsilon_2 = \ddot{\varphi} = \frac{6\pi t}{4} = 1,5\pi t\] При \(t = 5\): \(\varepsilon_2 = 1,5\pi \cdot 5 = 7,5\pi \approx 23,56 \, \text{рад/с}^2\). 2. Передаем движение на колесо 1: \[\omega_1 = \omega_2 \frac{R_2}{R_1} = 18,75\pi \cdot \frac{0,2}{0,3} = 12,5\pi \approx 39,27 \, \text{рад/с}\] \[\varepsilon_1 = \varepsilon_2 \frac{R_2}{R_1} = 7,5\pi \cdot \frac{0,2}{0,3} = 5\pi \approx 15,71 \, \text{рад/с}^2\] 3. Характеристики точки \(C\) (на расстоянии \(AC = 0,2 \, \text{м}\) от центра \(A\)): Скорость: \[v_C = \omega_1 \cdot AC = 12,5\pi \cdot 0,2 = 2,5\pi \approx 7,85 \, \text{м/с}\] Ускорения: \[a_C^{\tau} = \varepsilon_1 \cdot AC = 5\pi \cdot 0,2 = \pi \approx 3,14 \, \text{м/с}^2\] \[a_C^n = \omega_1^2 \cdot AC = (12,5\pi)^2 \cdot 0,2 = 156,25\pi^2 \cdot 0,2 = 31,25\pi^2 \approx 308,43 \, \text{м/с}^2\] Полное ускорение: \[a_C = \sqrt{(a_C^{\tau})^2 + (a_C^n)^2} = \sqrt{3,14^2 + 308,43^2} \approx 308,45 \, \text{м/с}^2\] Ответ: \(v_C \approx 7,85 \, \text{м/с}\), \(a_C \approx 308,45 \, \text{м/с}^2\).