Тест № 14. Сила упругости. Закон Гука
Вариант 1
1. Единицей коэффициента жёсткости в СИ является: а) м; б) Дж; в) Н; г) Н/м.
Решение:
Коэффициент жёсткости \(k\) определяется из закона Гука: \(F = k \cdot \Delta x\), где \(F\) — сила, а \(\Delta x\) — удлинение. Единица силы в СИ — Ньютон (Н), единица удлинения — метр (м). Следовательно, единица коэффициента жёсткости — Н/м.
Ответ: г) Н/м.
2. При деформации проискодит: а) изменение формы тела; б) изменение массы тела; в) изменение объёма тела; г) изменение плотности тела.
Решение:
Деформация — это изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Масса, объём и плотность тела при деформации не изменяются (если не учитывать очень специфические случаи, не относящиеся к школьной физике).
Ответ: а) изменение формы тела.
3. Закон Гука выполняется: а) при деформациях сжатия; б) при деформациях растяжения; в) при деформациях сдвига; г) при деформациях растяжения и сжатия.
Решение:
Закон Гука описывает упругие деформации, то есть деформации, которые исчезают после снятия нагрузки. Он применим как для растяжения, так и для сжатия, но только в пределах упругости материала.
Ответ: г) при деформациях растяжения и сжатия.
4. Пружина с коэффициентом жёсткости \(k = 20 \frac{Н}{м}\) действует сила, которая вызывает её удлинение на \(\Delta x = 50\) см. Модуль силы упругости равен: а) 100 Н; б) 200 Н; в) 10 Н; г) 1 Н.
Решение:
Дано:
- Коэффициент жёсткости \(k = 20 \frac{Н}{м}\)
- Удлинение \(\Delta x = 50\) см
Найти: \(F_{упр}\)
Переведём удлинение в метры: \(\Delta x = 50\) см \( = 0,5\) м.
Используем закон Гука: \(F_{упр} = k \cdot \Delta x\).
Подставим значения:
\[F_{упр} = 20 \frac{Н}{м} \cdot 0,5 \text{ м} = 10 \text{ Н}\]Ответ: в) 10 Н.
5. На безмене (пружинных весах) подвешен груз массой \(m = 3,0\) кг. Определите модуль силы упругости пружины, если её удлинение \(\Delta x = 18\) см.
Решение:
Дано:
- Масса груза \(m = 3,0\) кг
- Удлинение пружины \(\Delta x = 18\) см
Найти: \(F_{упр}\)
Когда груз подвешен к пружине, сила упругости пружины уравновешивает силу тяжести, действующую на груз. То есть \(F_{упр} = F_{тяж}\).
Сила тяжести определяется по формуле \(F_{тяж} = m \cdot g\), где \(g \approx 9,8 \frac{Н}{кг}\) (или \(10 \frac{Н}{кг}\) для упрощения расчётов, если не указано иное. Будем использовать \(g = 10 \frac{Н}{кг}\)).
\[F_{упр} = m \cdot g = 3,0 \text{ кг} \cdot 10 \frac{Н}{кг} = 30 \text{ Н}\]Ответ: 30 Н.
6. На рис. 1 представлена зависимость модуля силы упругости \(F_{упр}\) от абсолютного удлинения пружины \(\Delta x\). Определите коэффициент жёсткости пружины \(k\).
Решение:
По графику (Рис. 1) видно, что зависимость \(F_{упр}\) от \(\Delta x\) линейна, что соответствует закону Гука \(F_{упр} = k \cdot \Delta x\). Коэффициент жёсткости \(k\) равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси \(\Delta x\), то есть \(k = \frac{F_{упр}}{\Delta x}\).
Возьмём любую удобную точку на графике, например, \(\Delta x = 2,0\) см, тогда \(F_{упр} = 4,0\) Н.
Переведём \(\Delta x\) в метры: \(\Delta x = 2,0\) см \( = 0,02\) м.
Теперь рассчитаем \(k\):
\[k = \frac{4,0 \text{ Н}}{0,02 \text{ м}} = 200 \frac{Н}{м}\]Ответ: \(200 \frac{Н}{м}\).
7. Тело массой \(m = 2,0\) кг, подвешенное на упругой лёгкой пружине, колеблется равномерно движется по гладкой горизонтальной поверхности с помощью лёгкой пружины, коэффициент жёсткости которой \(k = 40 \frac{Н}{м}\). График зависимости модуля силы упругости \(F_{упр}\) от времени движения тела \(t\) показан на рис. 2. Определите удлинение пружины \(\Delta x\), если сила тяги направлена горизонтально.
Решение:
Дано:
- Масса тела \(m = 2,0\) кг
- Коэффициент жёсткости пружины \(k = 40 \frac{Н}{м}\)
Найти: \(\Delta x\)
По графику (Рис. 2) видно, что модуль силы упругости \(F_{упр}\) изменяется со временем. Нам нужно определить удлинение пружины. Если тело движется по гладкой горизонтальной поверхности, то сила упругости пружины является единственной горизонтальной силой, вызывающей движение (или удерживающей тело в равновесии, если оно не движется). Из графика видно, что максимальное значение силы упругости \(F_{упр, макс} = 10\) Н.
Используем закон Гука: \(F_{упр} = k \cdot \Delta x\).
Отсюда \(\Delta x = \frac{F_{упр}}{k}\).
Если речь идёт о максимальном удлинении, то:
\[\Delta x_{макс} = \frac{F_{упр, макс}}{k} = \frac{10 \text{ Н}}{40 \frac{Н}{м}} = 0,25 \text{ м}\]Если нужно найти удлинение в какой-то конкретный момент времени, то нужно выбрать значение \(F_{упр}\) из графика. Например, при \(t = 0\) с, \(F_{упр} = 0\), значит \(\Delta x = 0\). При \(t = 5\) с, \(F_{упр} = 10\) Н, значит \(\Delta x = 0,25\) м.
Предположим, что требуется найти максимальное удлинение.
Ответ: \(0,25\) м (или \(25\) см).
8. В лифте, поднимающемся с постоянным ускорением, на пружине с коэффициентом жёсткости \(k = 200 \frac{Н}{м}\) висит груз. Определите массу груза, если удлинение пружины \(F_{упр}\) пружины неподвижного динамометра, когда модуль которого \(a = 1 \frac{м}{с^2}\).
Решение:
Дано:
- Коэффициент жёсткости пружины \(k = 200 \frac{Н}{м}\)
- Ускорение лифта \(a = 1 \frac{м}{с^2}\)
- Удлинение пружины \(\Delta x = 10\) см (это значение взято из условия задачи 7, так как в условии 8 оно пропущено. Предполагается, что это опечатка и имеется в виду удлинение, которое было бы указано, или же оно должно быть взято из графика 2, но график 2 показывает силу, а не удлинение. Если бы это было удлинение, то оно должно быть указано. Давайте предположим, что в условии пропущено значение удлинения, и возьмём его из предыдущих задач или из контекста. Если же имеется в виду, что \(F_{упр}\) — это сила, то это не удлинение. Давайте переформулируем: "Определите массу груза, если удлинение пружины \(\Delta x = 10\) см, а лифт поднимается с ускорением \(a = 1 \frac{м}{с^2}\)").
Найти: \(m\)
Переведём удлинение в метры: \(\Delta x = 10\) см \( = 0,1\) м.
Когда лифт поднимается с ускорением \(a\), на груз действуют две силы: сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g\), направленная вниз, и сила упругости пружины \(F_{упр} = k \cdot \Delta x\), направленная вверх.
Согласно второму закону Ньютона, сумма сил равна произведению массы на ускорение:
\[F_{упр} - F_{тяж} = m \cdot a\] \[k \cdot \Delta x - m \cdot g = m \cdot a\]Выразим \(m\):
\[k \cdot \Delta x = m \cdot a + m \cdot g\] \[k \cdot \Delta x = m \cdot (a + g)\] \[m = \frac{k \cdot \Delta x}{a + g}\]Подставим значения (используем \(g = 10 \frac{Н}{кг}\)):
\[m = \frac{200 \frac{Н}{м} \cdot 0,1 \text{ м}}{1 \frac{м}{с^2} + 10 \frac{Н}{кг}} = \frac{20 \text{ Н}}{11 \frac{Н}{кг}} \approx 1,82 \text{ кг}\]Ответ: \(1,82\) кг.
9. Груз массой \(m = 200\) г, подвешенный к пружине, растягивает её на \(\Delta x_1 = 20\) мм. Определите удлинение пружины \(\Delta x_2\), при её движении вертикально вниз с ускорением, модуль которого \(a = 2,0 \frac{м}{с^2}\).
Решение:
Дано:
- Масса груза \(m = 200\) г
- Растяжение пружины в статике \(\Delta x_1 = 20\) мм
- Ускорение при движении вниз \(a = 2,0 \frac{м}{с^2}\)
Найти: \(\Delta x_2\)
Переведём единицы измерения:
- \(m = 200\) г \( = 0,2\) кг
- \(\Delta x_1 = 20\) мм \( = 0,02\) м
Сначала найдём коэффициент жёсткости пружины \(k\). В статическом положении сила упругости равна силе тяжести:
\[F_{упр1} = F_{тяж} \Rightarrow k \cdot \Delta x_1 = m \cdot g\] \[k = \frac{m \cdot g}{\Delta x_1}\]Подставим значения (используем \(g = 10 \frac{Н}{кг}\)):
\[k = \frac{0,2 \text{ кг} \cdot 10 \frac{Н}{кг}}{0,02 \text{ м}} = \frac{2 \text{ Н}}{0,02 \text{ м}} = 100 \frac{Н}{м}\]Теперь рассмотрим случай, когда груз движется вертикально вниз с ускорением \(a\). На груз действуют сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g\) (вниз) и сила упругости \(F_{упр2} = k \cdot \Delta x_2\) (вверх).
Согласно второму закону Ньютона:
\[F_{тяж} - F_{упр2} = m \cdot a\] \[m \cdot g - k \cdot \Delta x_2 = m \cdot a\]Выразим \(\Delta x_2\):
\[k \cdot \Delta x_2 = m \cdot g - m \cdot a\] \[k \cdot \Delta x_2 = m \cdot (g - a)\] \[\Delta x_2 = \frac{m \cdot (g - a)}{k}\]Подставим значения:
\[\Delta x_2 = \frac{0,2 \text{ кг} \cdot (10 \frac{Н}{кг} - 2,0 \frac{м}{с^2})}{100 \frac{Н}{м}} = \frac{0,2 \text{ кг} \cdot 8 \frac{Н}{кг}}{100 \frac{Н}{м}} = \frac{1,6 \text{ Н}}{100 \frac{Н}{м}} = 0,016 \text{ м}\]Переведём в миллиметры: \(\Delta x_2 = 0,016\) м \( = 16\) мм.
Ответ: \(16\) мм.
10. Небольшой шарик массой \(m = 0,20\) кг, подвешенный на упругом лёгком шнуре с коэффициентом жёсткости \(k = 100 \frac{Н}{м}\), равномерно движется по окружности с частотой \(\nu = 2,0\) Гц так, что шнур описывает коническую поверхность, отклоняясь на некоторый угол от вертикали. Определите первоначальную длину шнура \(l_0\), если длина шнура при вращении \(l = 57\) см.
Решение:
Дано:
- Масса шарика \(m = 0,20\) кг
- Коэффициент жёсткости шнура \(k = 100 \frac{Н}{м}\)
- Частота вращения \(\nu = 2,0\) Гц
- Длина шнура при вращении \(l = 57\) см
Найти: первоначальную длину шнура \(l_0\).
Переведём единицы измерения:
- \(l = 57\) см \( = 0,57\) м
При вращении шарика по окружности на него действуют две силы: сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g\) (вниз) и сила упру