Решение задачи 10: Вращение шарика на шнуре

Хорошо, давайте решим задачу номер 10. Задача 10. Небольшой шарик массой \(m = 0,20\) кг, подвешенный на упругом лёгком шнуре с коэффициентом жёсткости \(k = 100 \frac{Н}{м}\), равномерно движется по окружности с частотой \(\nu = 2,0\) Гц так, что шнур описывает коническую поверхность, отклоняясь на некоторый угол от вертикали. Определите первоначальную длину шнура \(l_0\), если длина шнура при вращении \(l = 57\) см. Дано: Масса шарика \(m = 0,20\) кг Коэффициент жёсткости шнура \(k = 100 \frac{Н}{м}\) Частота вращения \(\nu = 2,0\) Гц Длина шнура при вращении \(l = 57\) см \( = 0,57\) м Ускорение свободного падения \(g = 9,8 \frac{м}{с^2}\) Найти: Первоначальная длина шнура \(l_0\) Решение: 1. Рассмотрим силы, действующие на шарик при его вращении. На шарик действуют две силы: * Сила тяжести \(F_т = mg\), направленная вертикально вниз. * Сила упругости шнура \(F_{упр}\), направленная вдоль шнура к точке подвеса. 2. Разложим силу упругости на две составляющие: * Вертикальная составляющая \(F_{упр,y} = F_{упр} \cos \alpha\), где \(\alpha\) - угол отклонения шнура от вертикали. * Горизонтальная составляющая \(F_{упр,x} = F_{упр} \sin \alpha\), которая является центростремительной силой. 3. Запишем уравнения движения шарика. В вертикальном направлении шарик находится в равновесии (не движется вверх или вниз), поэтому сумма сил равна нулю: \[F_{упр} \cos \alpha - mg = 0\] \[F_{упр} \cos \alpha = mg \quad (1)\] В горизонтальном направлении на шарик действует центростремительная сила, которая сообщает ему центростремительное ускорение: \[F_{упр} \sin \alpha = F_{цс}\] \[F_{упр} \sin \alpha = m a_{цс}\] Центростремительное ускорение \(a_{цс} = \omega^2 R\), где \(\omega\) - угловая скорость, \(R\) - радиус окружности, по которой движется шарик. Угловая скорость связана с частотой \(\nu\) формулой \(\omega = 2 \pi \nu\). Радиус окружности \(R = l \sin \alpha\). Тогда: \[F_{упр} \sin \alpha = m (2 \pi \nu)^2 (l \sin \alpha) \quad (2)\] 4. Из уравнения (2) можно выразить \(F_{упр}\): \[F_{упр} = m (2 \pi \nu)^2 l\] (Мы можем сократить \(\sin \alpha\), так как \(\alpha \neq 0\)). 5. Подставим это выражение для \(F_{упр}\) в уравнение (1): \[m (2 \pi \nu)^2 l \cos \alpha = mg\] Сократим \(m\): \[(2 \pi \nu)^2 l \cos \alpha = g\] Отсюда найдем \(\cos \alpha\): \[\cos \alpha = \frac{g}{(2 \pi \nu)^2 l}\] 6. Теперь найдем значение \(\cos \alpha\): \[\cos \alpha = \frac{9,8 \frac{м}{с^2}}{(2 \cdot 3,14 \cdot 2,0 \frac{1}{с})^2 \cdot 0,57 м}\] \[\cos \alpha = \frac{9,8}{(12,56)^2 \cdot 0,57}\] \[\cos \alpha = \frac{9,8}{157,7536 \cdot 0,57}\] \[\cos \alpha = \frac{9,8}{89,919552} \approx 0,109\] 7. Сила упругости шнура также определяется законом Гука: \[F_{упр} = k \Delta l\] где \(\Delta l\) - удлинение шнура. Удлинение шнура \(\Delta l = l - l_0\). Значит, \(F_{упр} = k (l - l_0)\). 8. Мы уже нашли выражение для \(F_{упр}\) из пункта 4: \[F_{упр} = m (2 \pi \nu)^2 l\] Приравняем два выражения для \(F_{упр}\): \[k (l - l_0) = m (2 \pi \nu)^2 l\] 9. Выразим \(l_0\): \[l - l_0 = \frac{m (2 \pi \nu)^2 l}{k}\] \[l_0 = l - \frac{m (2 \pi \nu)^2 l}{k}\] \[l_0 = l \left(1 - \frac{m (2 \pi \nu)^2}{k}\right)\] 10. Подставим числовые значения: \[l_0 = 0,57 м \left(1 - \frac{0,20 кг \cdot (2 \cdot 3,14 \cdot 2,0 \frac{1}{с})^2}{100 \frac{Н}{м}}\right)\] \[l_0 = 0,57 м \left(1 - \frac{0,20 \cdot (12,56)^2}{100}\right)\] \[l_0 = 0,57 м \left(1 - \frac{0,20 \cdot 157,7536}{100}\right)\] \[l_0 = 0,57 м \left(1 - \frac{31,55072}{100}\right)\] \[l_0 = 0,57 м (1 - 0,3155072)\] \[l_0 = 0,57 м \cdot 0,6844928\] \[l_0 \approx 0,39016 \text{ м}\] 11. Переведем результат в сантиметры: \[l_0 \approx 0,39016 \cdot 100 \text{ см} \approx 39,0 \text{ см}\] Ответ: \(l_0 = 39,0\) см.