Решение задач 1, 2, 3 и 6

Ниже представлено решение задач 1, 2, 3 и 6 из вашего варианта. Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Задание 1. Разложите на множители: \(x^2 - 22x + 120\) Решение: Для разложения квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) на множители найдем его корни, решив уравнение \(x^2 - 22x + 120 = 0\). Воспользуемся теоремой Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 22 \\ x_1 \cdot x_2 = 120 \end{cases} \] Методом подбора находим корни: \(x_1 = 10\), \(x_2 = 12\). Используем формулу \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \[ x^2 - 22x + 120 = (x - 10)(x - 12) \] Ответ: \((x - 10)(x - 12)\). Задание 2. Разложите на множители: \(7x^2 + 48x + 65\) Решение: Найдем корни уравнения \(7x^2 + 48x + 65 = 0\) через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 48^2 - 4 \cdot 7 \cdot 65 = 2304 - 1820 = 484 = 22^2 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 \pm 22}{14} \] \[ x_1 = \frac{-48 + 22}{14} = \frac{-26}{14} = -\frac{13}{7} \] \[ x_2 = \frac{-48 - 22}{14} = \frac{-70}{14} = -5 \] Разложение на множители: \[ 7x^2 + 48x + 65 = 7(x + \frac{13}{7})(x + 5) = (7x + 13)(x + 5) \] Ответ: \((7x + 13)(x + 5)\). Задание 3. Разложите на множители: \(8x^2 + 30x + 27\) Решение: Найдем корни уравнения \(8x^2 + 30x + 27 = 0\): \[ D = 30^2 - 4 \cdot 8 \cdot 27 = 900 - 864 = 36 = 6^2 \] \[ x_{1,2} = \frac{-30 \pm 6}{16} \] \[ x_1 = \frac{-30 + 6}{16} = \frac{-24}{16} = -1,5 \] \[ x_2 = \frac{-30 - 6}{16} = \frac{-36}{16} = -2,25 \] Разложение на множители: \[ 8x^2 + 30x + 27 = 8(x + 1,5)(x + 2,25) = 2(x + 1,5) \cdot 4(x + 2,25) = (2x + 3)(4x + 9) \] Ответ: \((2x + 3)(4x + 9)\). Задание 6. Сократите дробь: \(\frac{2x + 7}{6x^2 + 49x + 98}\) Решение: Разложим знаменатель \(6x^2 + 49x + 98\) на множители. \[ D = 49^2 - 4 \cdot 6 \cdot 98 = 2401 - 2352 = 49 = 7^2 \] \[ x_{1,2} = \frac{-49 \pm 7}{12} \] \[ x_1 = \frac{-49 + 7}{12} = \frac{-42}{12} = -3,5 = -\frac{7}{2} \] \[ x_2 = \frac{-49 - 7}{12} = \frac{-56}{12} = -\frac{14}{3} \] Знаменатель примет вид: \[ 6(x + \frac{7}{2})(x + \frac{14}{3}) = 2(x + \frac{7}{2}) \cdot 3(x + \frac{14}{3}) = (2x + 7)(3x + 14) \] Теперь сократим дробь: \[ \frac{2x + 7}{(2x + 7)(3x + 14)} = \frac{1}{3x + 14} \] Ответ: \(\frac{1}{3x + 14}\).