Решение задачи 13 (а): Тригонометрическое уравнение

Задание 13. а) Решим уравнение: \[ \sqrt{3} \cos \left( \frac{7\pi}{2} - x \right) - 2 \sin^2 \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) + \sin(5\pi - x) + 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Применим формулы приведения: 1) \( \cos \left( \frac{7\pi}{2} - x \right) = -\sin x \) 2) \( \sin \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = -\cos x \), тогда \( \sin^2 \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \cos^2 x \) 3) \( \sin(5\pi - x) = \sin x \) Подставим в уравнение: \[ -\sqrt{3} \sin x - 2 \cos^2 x + \sin x + 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Заменим \( \cos^2 x \) на \( 1 - \sin^2 x \): \[ -\sqrt{3} \sin x - 2(1 - \sin^2 x) + \sin x + 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ -\sqrt{3} \sin x - 2 + 2 \sin^2 x + \sin x + 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ 2 \sin^2 x + (1 - \sqrt{3}) \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \] Пусть \( \sin x = t \), где \( |t| \le 1 \): \[ 2t^2 + (1 - \sqrt{3})t - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \] Умножим на 2 для удобства: \[ 4t^2 + 2(1 - \sqrt{3})t - \sqrt{3} = 0 \] \[ D = [2(1 - \sqrt{3})]^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-\sqrt{3}) = 4(1 - 2\sqrt{3} + 3) + 16\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3} \] Заметим, что \( 16 + 8\sqrt{3} = (2 + 2\sqrt{3})^2 \). \[ t = \frac{-2(1 - \sqrt{3}) \pm (2 + 2\sqrt{3})}{8} \] \[ t_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{3}}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ t_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} \] Вернемся к замене: 1) \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) 2) \( \sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) б) Укажем корни на отрезке \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \): 1) \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \) (входит) 2) \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \) (входит) 3) \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \) (не входит, меньше \( 2\pi \)) 4) \( x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6} \) (не входит, больше \( \frac{21\pi}{6} \)) 5) \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \) (входит) Ответ: а) \( \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \); б) \( \frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{19\pi}{6} \). Задание 15. Решим неравенство: \[ \frac{3^{3x} - 29 \cdot 3^{2x} + 55 \cdot 3^x - 27}{100x^2 + 20x + 1} \ge 0 \] 1. Знаменатель: \( 100x^2 + 20x + 1 = (10x + 1)^2 \). Квадрат всегда неотрицателен, но знаменатель не может быть равен нулю: \( (10x + 1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0,1 \). Так как \( (10x + 1)^2 > 0 \) при всех допустимых \( x \), неравенство сводится к: \[ 3^{3x} - 29 \cdot 3^{2x} + 55 \cdot 3^x - 27 \ge 0 \] 2. Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \): \[ t^3 - 29t^2 + 55t - 27 \ge 0 \] Заметим, что при \( t = 1 \) выражение равно \( 1 - 29 + 55 - 27 = 0 \). Значит, один из корней \( t = 1 \). Разделим многочлен на \( (t - 1) \): \[ (t - 1)(t^2 - 28t + 27) \ge 0 \] Разложим квадратный трехчлен \( t^2 - 28t + 27 \). Его корни \( t = 1 \) и \( t = 27 \). \[ (t - 1)(t - 1)(t - 27) \ge 0 \] \[ (t - 1)^2 (t - 27) \ge 0 \] 3. Анализ: Множитель \( (t - 1)^2 \ge 0 \) всегда. Неравенство выполняется, если: а) \( (t - 1)^2 = 0 \Rightarrow t = 1 \) б) \( t - 27 \ge 0 \Rightarrow t \ge 27 \) 4. Обратная замена: 1) \( 3^x = 1 \Rightarrow x = 0 \) 2) \( 3^x \ge 27 \Rightarrow 3^x \ge 3^3 \Rightarrow x \ge 3 \) 5. Учитываем ограничение \( x \neq -0,1 \): Точка \( x = -0,1 \) не совпадает с \( x = 0 \) и не входит в луч \( [3; +\infty) \). Ответ: \( \{0\} \cup [3; +\infty) \).