Решение контрольной работы: Системы уравнений, вариант 2

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Контрольная работа по теме: «Системы уравнений» Вариант 2 1. Решите систему уравнений: а) \[ \begin{cases} 4x^2 - 5x = y \\ 8x - 10 = y \end{cases} \] Решение: Приравняем правые части уравнений, так как обе они равны \(y\): \(4x^2 - 5x = 8x - 10\) Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные: \(4x^2 - 5x - 8x + 10 = 0\) \(4x^2 - 13x + 10 = 0\) Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D\): \(D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 169 - 160 = 9\) Найдем корни \(x\): \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(x_1 = \frac{13 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{13 - 3}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}\) \(x_2 = \frac{13 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{13 + 3}{8} = \frac{16}{8} = 2\) Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя второе уравнение \(y = 8x - 10\): Для \(x_1 = \frac{5}{4}\): \(y_1 = 8 \cdot \frac{5}{4} - 10 = 2 \cdot 5 - 10 = 10 - 10 = 0\) Для \(x_2 = 2\): \(y_2 = 8 \cdot 2 - 10 = 16 - 10 = 6\) Ответ: \(( \frac{5}{4}; 0 )\) и \(( 2; 6 )\). б) \[ \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ 2x^2 - y = 5 \end{cases} \] Решение: Сложим два уравнения системы. Это позволит исключить \(y\): \((x^2 + y) + (2x^2 - y) = 7 + 5\) \(x^2 + y + 2x^2 - y = 12\) \(3x^2 = 12\) \(x^2 = \frac{12}{3}\) \(x^2 = 4\) \(x = \pm \sqrt{4}\) \(x_1 = 2\) \(x_2 = -2\) Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя первое уравнение \(y = 7 - x^2\): Для \(x_1 = 2\): \(y_1 = 7 - (2)^2 = 7 - 4 = 3\) Для \(x_2 = -2\): \(y_2 = 7 - (-2)^2 = 7 - 4 = 3\) Ответ: \(( 2; 3 )\) и \(( -2; 3 )\). в) \[ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 36 \\ 8x^2 + 4y^2 = 36x \end{cases} \] Решение: Из первого уравнения выразим \(y^2\): \(y^2 = 36 - 2x^2\) Подставим это выражение во второе уравнение: \(8x^2 + 4(36 - 2x^2) = 36x\) Раскроем скобки: \(8x^2 + 144 - 8x^2 = 36x\) \(144 = 36x\) Найдем \(x\): \(x = \frac{144}{36}\) \(x = 4\) Теперь найдем \(y^2\), подставив \(x = 4\) в выражение для \(y^2\): \(y^2 = 36 - 2(4)^2\) \(y^2 = 36 - 2 \cdot 16\) \(y^2 = 36 - 32\) \(y^2 = 4\) \(y = \pm \sqrt{4}\) \(y_1 = 2\) \(y_2 = -2\) Ответ: \(( 4; 2 )\) и \(( 4; -2 )\). 2. Решите задачу. Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см\(^2\), а его периметр – 18 см. Найдите стороны прямоугольника. Решение: Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). По условию задачи: 1. Сумма квадратов сторон равна 45 см\(^2\): \(a^2 + b^2 = 45\) 2. Периметр прямоугольника равен 18 см: \(2(a + b) = 18\) Из второго уравнения выразим сумму сторон: \(a + b = \frac{18}{2}\) \(a + b = 9\) Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a^2 + b^2 = 45 \\ a + b = 9 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(b\): \(b = 9 - a\) Подставим это выражение в первое уравнение: \(a^2 + (9 - a)^2 = 45\) Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\): \(a^2 + (81 - 18a + a^2) = 45\) Приведем подобные члены: \(2a^2 - 18a + 81 = 45\) Перенесем 45 в левую часть: \(2a^2 - 18a + 81 - 45 = 0\) \(2a^2 - 18a + 36 = 0\) Разделим все члены уравнения на 2: \(a^2 - 9a + 18 = 0\) Найдем дискриминант \(D\): \(D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9\) Найдем корни \(a\): \(a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(a_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3\) \(a_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6\) Теперь найдем соответствующие значения \(b\) для каждого \(a\), используя \(b = 9 - a\): Если \(a_1 = 3\), то \(b_1 = 9 - 3 = 6\) Если \(a_2 = 6\), то \(b_2 = 9 - 6 = 3\) В обоих случаях стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см. Ответ: Стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см. 3. Решите систему уравнений: а) \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = 10 \end{cases} \] Решение: Из второго уравнения выразим \(y\): \(y = \frac{10}{x}\) Подставим это выражение в первое уравнение: \(x^2 + \left( \frac{10}{x} \right)^2 = 29\) \(x^2 + \frac{100}{x^2} = 29\) Умножим все члены уравнения на \(x^2\) (при условии, что \(x \neq 0\)): \(x^4 + 100 = 29x^2\) Перенесем все члены в левую часть: \(x^4 - 29x^2 + 100 = 0\) Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \(t = x^2\), где \(t \ge 0\). \(t^2 - 29t + 100 = 0\) Найдем дискриминант \(D\): \(D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441\) Найдем корни \(t\): \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(t_1 = \frac{29 - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(t_2 = \frac{29 + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25\) Теперь вернемся к замене \(t = x^2\): Для \(t_1 = 4\): \(x^2 = 4\) \(x = \pm \sqrt{4}\) \(x_1 = 2\) \(x_2 = -2\) Для \(t_2 = 25\): \(x^2 = 25\) \(x = \pm \sqrt{25}\) \(x_3 = 5\) \(x_4 = -5\) Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя \(y = \frac{10}{x}\): Для \(x_1 = 2\): \(y_1 = \frac{10}{2} = 5\) Для \(x_2 = -2\): \(y_2 = \frac{10}{-2} = -5\) Для \(x_3 = 5\): \(y_3 = \frac{10}{5} = 2\) Для \(x_4 = -5\): \(y_4 = \frac{10}{-5} = -2\) Ответ: \(( 2; 5 )\), \(( -2; -5 )\), \(( 5; 2 )\), \(( -5; -2 )\). б) \[ \begin{cases} x^2 + 2 = 17y \\ y^2 + 2 = 17x \end{cases} \] Решение: Вычтем второе уравнение из первого: \((x^2 + 2) - (y^2 + 2) = 17y - 17x\) \(x^2 + 2 - y^2 - 2 = 17y - 17x\) \(x^2 - y^2 = 17y - 17x\) Разложим левую часть как разность квадратов: \((x - y)(x + y) = 17(y - x)\) \((x - y)(x + y) = -17(x - y)\) Перенесем все члены в левую часть: \((x - y)(x + y) + 17(x - y) = 0\) Вынесем общий множитель \((x - y)\): \((x - y)(x + y + 17) = 0\) Это уравнение распадается на два случая: Случай 1: \(x - y = 0 \Rightarrow x = y\) Подставим \(x = y\) в первое уравнение системы: \(x^2 + 2 = 17x\) \(x^2 - 17x + 2 = 0\) Найдем дискриминант \(D\): \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 289 - 8 = 281\) Найдем корни \(x\): \(x = \frac{17 \pm \sqrt{281}}{2}\) Так как \(x = y\), то: \(x_1 = y_1 = \frac{17 + \sqrt{281}}{2}\) \(x_2 = y_2 = \frac{17 - \sqrt{281}}{2}\) Случай 2: \(x + y + 17 = 0 \Rightarrow y = -x - 17\) Подставим \(y = -x - 17\) в первое уравнение системы: \(x^2 + 2 = 17(-x - 17)\) \(x^2 + 2 = -17x - 289\) Перенесем все члены в левую часть: \(x^2 + 17x + 2 + 289 = 0\) \(x^2 + 17x + 291 = 0\) Найдем дискриминант \(D\): \(D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 291 = 289 - 1164 = -875\) Так как дискриминант отрицательный \((D < 0)\), это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Значит, этот случай не дает решений в действительных числах. Ответ: \(\left( \frac{17 + \sqrt{281}}{2}; \frac{17 + \sqrt{281}}{2} \right)\) и \(\left( \frac{17 - \sqrt{281}}{2}; \frac{17 - \sqrt{281}}{2} \right)\).