Решение задачи: Пропорциональны ли отрезки?

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Пропорциональны ли отрезки: а) \(SX = 40\) см и \(MH = 18\) см отрезкам \(S_1X_1 = 60\) см и \(M_1H_1 = 45\) см? б) \(NT = 76\) см и \(EC = 64\) см отрезкам \(N_1T_1 = 57\) см и \(E_1C_1 = 48\) см? Решение: Отрезки пропорциональны, если отношение их длин равно. а) Проверим пропорциональность отрезков \(SX\), \(MH\) и \(S_1X_1\), \(M_1H_1\). Для этого сравним отношения: \(\frac{SX}{S_1X_1}\) и \(\frac{MH}{M_1H_1}\). \(\frac{SX}{S_1X_1} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}\) \(\frac{MH}{M_1H_1} = \frac{18}{45} = \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{2}{5}\) Так как \(\frac{2}{3} \neq \frac{2}{5}\), то отрезки не пропорциональны. б) Проверим пропорциональность отрезков \(NT\), \(EC\) и \(N_1T_1\), \(E_1C_1\). Для этого сравним отношения: \(\frac{NT}{N_1T_1}\) и \(\frac{EC}{E_1C_1}\). \(\frac{NT}{N_1T_1} = \frac{76}{57}\) Разделим 76 на 19: \(76 \div 19 = 4\). Разделим 57 на 19: \(57 \div 19 = 3\). Значит, \(\frac{76}{57} = \frac{4}{3}\). \(\frac{EC}{E_1C_1} = \frac{64}{48}\) Разделим 64 на 16: \(64 \div 16 = 4\). Разделим 48 на 16: \(48 \div 16 = 3\). Значит, \(\frac{64}{48} = \frac{4}{3}\). Так как \(\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\), то отрезки пропорциональны. Ответ: а) Нет, не пропорциональны. б) Да, пропорциональны. 2. Через произвольную точку \(A\) стороны \(ME\) треугольника \(MEH\) проведена прямая, параллельная \(EH\), которая пересекает сторону \(MH\) в точке \(X\). Найдите \(AE\), если \(MX = 9\) см, \(XH = 27\) см, \(MA = 4\) см. Решение: Дано: Треугольник \(MEH\). Точка \(A\) на стороне \(ME\). Прямая \(AX\) параллельна \(EH\). Точка \(X\) на стороне \(MH\). \(MX = 9\) см. \(XH = 27\) см. \(MA = 4\) см. Найти: \(AE\). Поскольку прямая \(AX\) параллельна \(EH\), то треугольник \(MAX\) подобен треугольнику \(MEH\) по двум углам (угол \(M\) общий, \(\angle MAX = \angle MEH\) как соответственные углы при параллельных прямых \(AX\) и \(EH\) и секущей \(ME\)). Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны: \(\frac{MA}{ME} = \frac{MX}{MH}\) Сначала найдем длину стороны \(MH\): \(MH = MX + XH = 9 + 27 = 36\) см. Теперь подставим известные значения в отношение: \(\frac{4}{ME} = \frac{9}{36}\) Упростим дробь \(\frac{9}{36}\): \(\frac{9}{36} = \frac{1}{4}\) Получаем уравнение: \(\frac{4}{ME} = \frac{1}{4}\) Чтобы найти \(ME\), умножим обе части на \(4 \cdot ME\): \(4 \cdot 4 = 1 \cdot ME\) \(16 = ME\) Значит, \(ME = 16\) см. Теперь найдем \(AE\). Мы знаем, что \(ME = MA + AE\). \(16 = 4 + AE\) \(AE = 16 - 4\) \(AE = 12\) см. Ответ: \(AE = 12\) см. 3. Расстояние от точки пересечения биссектрис равностороннего треугольника \(CSH\) до стороны \(CS\) равно 75 см. Найдите его медиану \(SR\). Решение: Дано: Равносторонний треугольник \(CSH\). Точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) обозначим как \(O\). Расстояние от \(O\) до стороны \(CS\) равно 75 см. Это радиус вписанной окружности \(r\). Найти: Медиану \(SR\). В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты, проведенные из одной вершины, совпадают. Также точка пересечения биссектрис, медиан и высот (центр вписанной и описанной окружностей, ортоцентр, центроид) совпадают. Медиана \(SR\) является также высотой и биссектрисой. Точка \(O\) делит медиану \(SR\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(S\). То есть \(SO : OR = 2:1\). Расстояние от точки \(O\) до стороны \(CS\) - это перпендикуляр, опущенный из \(O\) на \(CS\), и это радиус вписанной окружности \(r\). Значит, \(r = OR = 75\) см. Так как \(SO : OR = 2:1\), то \(SO = 2 \cdot OR\). \(SO = 2 \cdot 75 = 150\) см. Длина медианы \(SR\) равна сумме \(SO\) и \(OR\): \(SR = SO + OR = 150 + 75 = 225\) см. Также можно использовать формулу для радиуса вписанной окружности в равностороннем треугольнике: \(r = \frac{h}{3}\), где \(h\) - высота (медиана) треугольника. В нашем случае \(h = SR\). \(75 = \frac{SR}{3}\) \(SR = 75 \cdot 3\) \(SR = 225\) см. Ответ: Медиана \(SR = 225\) см. 4. \(F\) - точка пересечения медиан треугольника \(OHZ\), \(ZC\) - медиана этого треугольника, равная 129 см. Найдите \(CF\) и \(FZ\). Решение: Дано: Треугольник \(OHZ\). \(F\) - точка пересечения медиан. \(ZC\) - медиана, \(ZC = 129\) см. Найти: \(CF\) и \(FZ\). Точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. В данном случае медиана \(ZC\) делится точкой \(F\) на отрезки \(ZF\) и \(FC\). Отношение \(ZF : FC = 2:1\). Это означает, что медиана \(ZC\) состоит из \(2+1=3\) равных частей. Отрезок \(ZF\) составляет \(\frac{2}{3}\) от всей медианы \(ZC\). Отрезок \(FC\) составляет \(\frac{1}{3}\) от всей медианы \(ZC\). Найдем \(FC\): \(FC = \frac{1}{3} \cdot ZC\) \(FC = \frac{1}{3} \cdot 129\) \(FC = 43\) см. Найдем \(FZ\): \(FZ = \frac{2}{3} \cdot ZC\) \(FZ = \frac{2}{3} \cdot 129\) \(FZ = 2 \cdot 43\) \(FZ = 86\) см. Проверим: \(FC + FZ = 43 + 86 = 129\) см, что равно длине медианы \(ZC\). Ответ: \(CF = 43\) см, \(FZ = 86\) см.