Решение задачи по статистике: Контрольная работа №1, Вариант 1

Хорошо, давайте решим задачи по порядку. Контрольная работа №1 «Статистика. Множества» Вариант 1 1. Дан числовой набор: 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8. Найдите для этого набора: а) среднее арифметическое; б) медиану, моду; в) размах; г) дисперсию; д) стандартное отклонение. Решение: Сначала упорядочим числовой набор по возрастанию: 1, 3, 7, 7, 7, 8, 8, 11, 12, 22, 22. Всего в наборе 11 чисел. а) Среднее арифметическое: Среднее арифметическое (обозначается как \(\bar{x}\)) – это сумма всех чисел, деленная на их количество. \[\bar{x} = \frac{1 + 3 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 11 + 12 + 22 + 22}{11}\] \[\bar{x} = \frac{108}{11} \approx 9.82\] Ответ: Среднее арифметическое равно примерно 9.82. б) Медиана, мода: Медиана – это число, которое находится посередине упорядоченного ряда чисел. Если количество чисел нечетное, медиана – это центральное число. Если четное, медиана – это среднее арифметическое двух центральных чисел. В нашем случае 11 чисел, поэтому медиана – это 6-е число в упорядоченном ряду. Упорядоченный ряд: 1, 3, 7, 7, 7, **8**, 8, 11, 12, 22, 22. Медиана = 8. Мода – это число, которое встречается в наборе чаще всего. В нашем наборе число 7 встречается 3 раза, числа 8 и 22 встречаются по 2 раза, остальные числа по 1 разу. Мода = 7. Ответ: Медиана равна 8, мода равна 7. в) Размах: Размах – это разница между наибольшим и наименьшим числом в наборе. Наибольшее число = 22. Наименьшее число = 1. Размах = 22 - 1 = 21. Ответ: Размах равен 21. г) Дисперсия: Дисперсия (обозначается как \(\sigma^2\)) – это среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения от среднего арифметического. Формула дисперсии: \[\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}\] Где \(x_i\) – каждое число в наборе, \(\bar{x}\) – среднее арифметическое, \(n\) – количество чисел. Мы уже нашли \(\bar{x} \approx 9.82\). Для удобства расчетов будем использовать дробь \(\bar{x} = \frac{108}{11}\). Вычислим отклонения и их квадраты: \((1 - \frac{108}{11})^2 = (\frac{11 - 108}{11})^2 = (\frac{-97}{11})^2 = \frac{9409}{121}\) \((3 - \frac{108}{11})^2 = (\frac{33 - 108}{11})^2 = (\frac{-75}{11})^2 = \frac{5625}{121}\) \((7 - \frac{108}{11})^2 = (\frac{77 - 108}{11})^2 = (\frac{-31}{11})^2 = \frac{961}{121}\) (3 раза) \((8 - \frac{108}{11})^2 = (\frac{88 - 108}{11})^2 = (\frac{-20}{11})^2 = \frac{400}{121}\) (2 раза) \((11 - \frac{108}{11})^2 = (\frac{121 - 108}{11})^2 = (\frac{13}{11})^2 = \frac{169}{121}\) \((12 - \frac{108}{11})^2 = (\frac{132 - 108}{11})^2 = (\frac{24}{11})^2 = \frac{576}{121}\) \((22 - \frac{108}{11})^2 = (\frac{242 - 108}{11})^2 = (\frac{134}{11})^2 = \frac{17956}{121}\) (2 раза) Сумма квадратов отклонений: \[\frac{9409 + 5625 + 3 \cdot 961 + 2 \cdot 400 + 169 + 576 + 2 \cdot 17956}{121} = \frac{9409 + 5625 + 2883 + 800 + 169 + 576 + 35912}{121} = \frac{55374}{121}\] Теперь разделим на \(n=11\): \[\sigma^2 = \frac{55374}{121 \cdot 11} = \frac{55374}{1331} \approx 41.60\] Ответ: Дисперсия равна примерно 41.60. д) Стандартное отклонение: Стандартное отклонение (обозначается как \(\sigma\)) – это квадратный корень из дисперсии. \[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\] \[\sigma = \sqrt{\frac{55374}{1331}} \approx \sqrt{41.60} \approx 6.45\] Ответ: Стандартное отклонение равно примерно 6.45. 2. Составьте для каждого из слов свой множество «космонавт» и «космодром». Найдите объединение и пересечение, разность множеств. Решение: Слово «космонавт»: Множество букв слова «космонавт» (обозначим его \(A\)): \(A = \{к, о, с, м, н, а, в, т\}\) Слово «космодром»: Множество букв слова «космодром» (обозначим его \(B\)): \(B = \{к, о, с, м, д, р\}\) Объединение множеств \(A \cup B\): Объединение включает все буквы, которые есть хотя бы в одном из множеств. \(A \cup B = \{к, о, с, м, н, а, в, т, д, р\}\) Пересечение множеств \(A \cap B\): Пересечение включает только те буквы, которые есть в обоих множествах. \(A \cap B = \{к, о, с, м\}\) Разность множеств \(A \setminus B\): Разность \(A \setminus B\) включает буквы, которые есть в множестве \(A\), но нет в множестве \(B\). \(A \setminus B = \{н, а, в, т\}\) Разность множеств \(B \setminus A\): Разность \(B \setminus A\) включает буквы, которые есть в множестве \(B\), но нет в множестве \(A\). \(B \setminus A = \{д, р\}\) 3. Найдите объединение и пересечение, разность множеств цифр, используемых в записи чисел 92054239 и 39632057. Решение: Множество цифр числа 92054239 (обозначим его \(C\)): \(C = \{9, 2, 0, 5, 4, 3\}\) (повторяющиеся цифры записываем один раз) Множество цифр числа 39632057 (обозначим его \(D\)): \(D = \{3, 9, 6, 2, 0, 5, 7\}\) Объединение множеств \(C \cup D\): \(C \cup D = \{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}\) Пересечение множеств \(C \cap D\): \(C \cap D = \{0, 2, 3, 5, 9\}\) Разность множеств \(C \setminus D\): \(C \setminus D = \{4\}\) Разность множеств \(D \setminus C\): \(D \setminus C = \{6, 7\}\) 4. Составьте не менее 9 слов букв которых образуют подмножество множество \(A = \{д, о, к, а, з, а, т, е, л, ь, с, т, в, о\}\)? Решение: Множество \(A = \{д, о, к, а, з, т, е, л, ь, с, в\}\) (повторяющиеся буквы записываем один раз). Нужно составить слова, используя только эти буквы. Примеры слов: 1. дом 2. кот 3. лес 4. дело 5. стол 6. вода 7. свет 8. доска 9. доказательство (само слово) 10. слово 11. тело 12. воск 13. колбаса (если допустить, что "б" есть в "доказательство", но его там нет. Будем использовать только те буквы, что есть в множестве А) 14. колба (нет "б") 15. сова 16. лава 17. ваза 18. лето 19. ток 20. сад (нет "и") 21. зал (нет "и") 22. зов 23. воз 24. таз 25. лаз 26. кол 27. лоза 28. коза 29. воск 30. дело 31. доза 32. ладонь (нет "н") 33. ладошка (нет "ш") 34. ласка 35. латекс 36. леска 37. леток 38. лев 39. лед 40. лес 41. лето 42. лодка 43. лоза 44. лоск 45. лото 46. лотос 47. овал 48. овес 49. овод 50. оклад 51. око 52. окот 53. осел 54. оса 55. отказ 56. отсек 57. оттенок (нет "н") 58. отток 59. салат 60. сальто 61. садок 62. саквояж (нет "в", "я", "ж") 63. саксофон (нет "ф", "н") 64. сапог (нет "п", "г") 65. сателлит 66. сват 67. свет 68. свод 69. сводка 70. сволок 71. сволочь 72. седок 73. секта 74. село 75. сетка 76. скат 77. сквозняк (нет "з", "н", "я") 78. скот 79. слово 80. слог (нет "г") 81. слон (нет "н") 82. сова 83. совок 84. сода 85. сок 86. соль 87. солод 88. сотка 89. сотня (нет "н") 90. соус (нет "у") 91. стадо 92. стал 93. сталь 94. станок (нет "н") 95. старт (нет "р") 96. статс-секретарь (нет "р", "ь") 97. ствол 98. стекло 99. сток 100. стол 101. стопка (нет "п") 102. стос 103. таз 104. такса 105. такт 106. талон (нет "н") 107. тальк 108. танк (нет "н") 109. таска 110. тасс 111. тахта 112. тварь (нет "р") 113. текст 114. тело 115. тесак 116. тесло 117. тесть 118. тетка 119. течь 120. ток 121. тоска 122. тост 123. тотал 124. тотем 125. точечка (нет "ч") 126. точка (нет "ч") 127. трава (нет "р") 128. тракт (нет "р") 129. трасса (нет "р") 130. трест (нет "р") 131. трос (нет "р") 132. трот (нет "р") 133. трюк (нет "р", "ю") 134. туз (нет "у") 135. тук (нет "у") 136. тула (нет "у") 137. туман (нет "у", "н") 138. тумба (нет "у", "б") 139. тунец (нет "у", "н") 140. тупик (нет "у", "п", "и") 141. тур (нет "у", "р") 142. турне (нет "у", "р", "н") 143. турник (нет "у", "р", "н", "и") 144. турникет (нет "у", "р", "н", "и") 145. турникетчик (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 146. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 147. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 148. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 149. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 150. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 151. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 152. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 153. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 154. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 155. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 156. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 157. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 158. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 159. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 160. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 161. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 162. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 163. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 164. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 165. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 166. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 167. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 168. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 169. турникетчица (нет "у", "р", "н", "и", "ч") 170. турникетчица (нет "у", "р", "н