Решение задачи 2.1, Вариант 15: Индукция магнитного поля

Хорошо, решаем задачу 2.1 для варианта 15. Задача 2.1. Провод, расположенный в вакууме, по которому течет ток \(I\), изогнут так как это показано на рисунке. Найти индукцию магнитного поля в точке \(O\). Для решения задачи необходимо изобразить проводник с учетом заданных углов. Данные для варианта 15: \(R_1 = 4\) см \(R_2 = 7\) см \(\varphi = 60^\circ\) \(I = 3\) А Форма проводника: сектор кольца (третий рисунок справа). Направление тока: по часовой стрелке. Решение: 1. Изобразим проводник с учетом заданных углов. Проводник представляет собой сектор кольца. Внутренний радиус \(R_1 = 4\) см, внешний радиус \(R_2 = 7\) см. Угол сектора \(\varphi = 60^\circ\). Ток течет по часовой стрелке. (Здесь должен быть рисунок, но я не могу его нарисовать. Представьте сектор кольца, где ток течет по часовой стрелке по дугам и радиальным участкам.) 2. Определим индукцию магнитного поля в точке \(O\). Магнитное поле в центре \(O\) создается четырьмя участками проводника: * Две радиальные прямые части (от \(R_1\) до \(R_2\)). * Две дугообразные части (с радиусами \(R_1\) и \(R_2\)). Для радиальных прямых участков, проходящих через точку \(O\), индукция магнитного поля в точке \(O\) равна нулю, так как точка \(O\) лежит на продолжении этих проводников. Для дугообразных участков используем формулу для индукции магнитного поля в центре круговой дуги: \[B = \frac{\mu_0 I \alpha}{4 \pi R}\] где \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\) Тл·м/А – магнитная постоянная, \(I\) – сила тока, \(\alpha\) – угол дуги в радианах, \(R\) – радиус дуги. Переведем угол \(\varphi\) из градусов в радианы: \[\alpha = \varphi \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}\] Для внутренней дуги (радиус \(R_1\)): \[B_1 = \frac{\mu_0 I \alpha}{4 \pi R_1}\] Направление поля \(B_1\) определяется правилом буравчика. Поскольку ток течет по часовой стрелке, поле от внутренней дуги направлено от нас (в плоскость чертежа). Для внешней дуги (радиус \(R_2\)): \[B_2 = \frac{\mu_0 I \alpha}{4 \pi R_2}\] Направление поля \(B_2\) также определяется правилом буравчика. Поскольку ток течет по часовой стрелке, поле от внешней дуги также направлено от нас (в плоскость чертежа). Однако, если ток течет по часовой стрелке, то для внутренней дуги (от \(R_1\)) поле направлено от нас, а для внешней дуги (от \(R_2\)) поле также направлено от нас. Но в данном случае, ток по дугам течет в противоположных направлениях относительно центра. Посмотрим на рисунок: ток по внутренней дуге течет по часовой стрелке, а по внешней дуге - против часовой стрелки (если смотреть на направление тока по всему контуру). Если ток по внутренней дуге течет по часовой стрелке, то \(B_1\) направлено от нас. Если ток по внешней дуге течет против часовой стрелки, то \(B_2\) направлено к нам. Поэтому результирующая индукция будет разностью полей: \[B = B_1 - B_2\] (Предполагаем, что \(B_1 > B_2\), так как \(R_1 < R_2\)). Подставим значения: \(R_1 = 4\) см \( = 0.04\) м \(R_2 = 7\) см \( = 0.07\) м \(I = 3\) А \(\alpha = \frac{\pi}{3}\) рад \[B = \frac{\mu_0 I \alpha}{4 \pi R_1} - \frac{\mu_0 I \alpha}{4 \pi R_2} = \frac{\mu_0 I \alpha}{4 \pi} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)\] \[B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Тл} \cdot \text{м/А} \cdot 3 \text{ А} \cdot \frac{\pi}{3}}{4 \pi} \left( \frac{1}{0.04 \text{ м}} - \frac{1}{0.07 \text{ м}} \right)\] \[B = 10^{-7} \text{ Тл} \cdot \text{м/А} \cdot \pi \cdot \left( \frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.07} \right) \text{ м}^{-1}\] \[B = 10^{-7} \cdot \pi \cdot (25 - 14.2857)\] \[B = 10^{-7} \cdot \pi \cdot 10.7143\] \[B \approx 3.365 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}\] Направление результирующего поля будет совпадать с направлением поля от внутренней дуги, то есть от нас (в плоскость чертежа), так как \(B_1 > B_2\). Ответ: Индукция магнитного поля в точке \(O\) составляет примерно \(3.365 \cdot 10^{-6}\) Тл и направлена от нас (в плоскость чертежа).