school
Общие знания
verified
Решено AI
Решение задачи 2.3 (Вариант 15) - Холла эффект
help_outline
Условие задачи
Реши 15 вариант коротко и понятно
lightbulb
Краткий ответ
Находим неизвестные параметры задачи 2.3 (вариант 15) о Холла эффекте, используя заданные значения a, b, B, Rx, Ux. В результате вычисляем d, I, j, n, v и Ex.
Подробное решение
Хорошо, давайте решим 15 вариант задачи.
Задача 2.3. Через поперечное сечение \(S\) проводящей пластинки толщиной \(d\), длиной \(a\) и высотой \(b\) протекает ток силой \(I\) и плотностью \(\vec{j}\). При помещении пластинки в магнитное поле с индукцией \(\vec{B}\) (см. рис. 2.3) возникают поперечное электрическое поле с напряженностью \(E_x\) и разность потенциалов \(U_x\). Концентрация электронов проводимости в пластинке \(n\) и скорость \(v\). Постоянная Холла \(R_x\). Определить величины, обозначенные знаком вопроса в таблице 2.3.
Для 15 варианта даны следующие значения:
\(a = 5,8\) мм
\(b = 4,7\) мм
\(d = ?\)
\(S = 12\) мм\(^2\)
\(I = ?\)
\(j = ?\)
\(B = 41\) мТл
\(n \cdot 10^{19} = ?\)
\(v = ?\) см/с
\(R_x \cdot 10^{-2} = 21\) м\(^3\)/Кл
\(U_x = 0,1\) мкВ
\(E_x = ?\) В/м
Давайте определим неизвестные величины.
1. Найдём толщину \(d\).
Площадь поперечного сечения \(S\) связана с размерами пластинки как \(S = b \cdot d\).
Отсюда \(d = \frac{S}{b}\).
Переведём \(b\) в мм: \(b = 4,7\) мм.
\(d = \frac{12 \text{ мм}^2}{4,7 \text{ мм}} \approx 2,55\) мм.
2. Найдём плотность тока \(j\).
Плотность тока \(j = \frac{I}{S}\).
Однако, \(I\) неизвестно. Давайте посмотрим, что можно найти из других формул.
3. Найдём напряженность электрического поля \(E_x\).
Разность потенциалов \(U_x\) связана с напряженностью электрического поля \(E_x\) и длиной \(a\) (в данном случае, это расстояние, на котором измеряется разность потенциалов Холла, то есть длина пластинки):
\(U_x = E_x \cdot a\).
Отсюда \(E_x = \frac{U_x}{a}\).
Переведём \(U_x\) в В: \(U_x = 0,1\) мкВ \(= 0,1 \cdot 10^{-6}\) В.
Переведём \(a\) в м: \(a = 5,8\) мм \(= 5,8 \cdot 10^{-3}\) м.
\(E_x = \frac{0,1 \cdot 10^{-6} \text{ В}}{5,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 1,72 \cdot 10^{-5}\) В/м.
4. Найдём плотность тока \(j\) и скорость \(v\).
Постоянная Холла \(R_x\) связана с напряженностью электрического поля \(E_x\), плотностью тока \(j\) и индукцией магнитного поля \(B\) формулой:
\(R_x = \frac{E_x}{j \cdot B}\).
Отсюда \(j = \frac{E_x}{R_x \cdot B}\).
Переведём \(R_x\) в м\(^3\)/Кл: \(R_x = 21 \cdot 10^{-2}\) м\(^3\)/Кл \(= 0,21\) м\(^3\)/Кл.
Переведём \(B\) в Тл: \(B = 41\) мТл \(= 41 \cdot 10^{-3}\) Тл.
\(j = \frac{1,72 \cdot 10^{-5} \text{ В/м}}{0,21 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 41 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} \approx \frac{1,72 \cdot 10^{-5}}{8,61 \cdot 10^{-3}} \approx 2,00 \cdot 10^{-3}\) А/м\(^2\).
Округлим до 0,002 А/м\(^2\).
5. Найдём силу тока \(I\).
\(I = j \cdot S\).
Переведём \(S\) в м\(^2\): \(S = 12\) мм\(^2\) \(= 12 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\).
\(I = 2,00 \cdot 10^{-3} \text{ А/м}^2 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 24 \cdot 10^{-9}\) А \(= 0,024\) мкА.
В таблице \(I\) дано в мА, поэтому \(I = 0,024 \cdot 10^{-3}\) мА. Это очень маленькое значение, возможно, в таблице подразумевается другая единица или округление. Давайте перепроверим.
Если \(j\) в А/м\(^2\), то \(I\) в А.
\(I = 0,002 \text{ А/м}^2 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 24 \cdot 10^{-9}\) А.
В таблице \(I\) в мА. \(24 \cdot 10^{-9}\) А \(= 24 \cdot 10^{-6}\) мА. Это очень мало.
Возможно, в таблице \(j\) дано в А/мм\(^2\). Если \(j = 0,002\) А/мм\(^2\), то \(I = 0,002 \text{ А/мм}^2 \cdot 12 \text{ мм}^2 = 0,024\) А \(= 24\) мА.
Давайте предположим, что \(j\) в А/м\(^2\). Тогда \(I\) в мА будет \(24 \cdot 10^{-6}\) мА.
Если \(j\) в А/см\(^2\), то \(j = 2,00 \cdot 10^{-3} \text{ А/м}^2 = 2,00 \cdot 10^{-3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^{-2} \text{ А/см}^2 = 2,00 \cdot 10^{-3} \cdot 10^4 \text{ А/см}^2 = 20\) А/см\(^2\).
Тогда \(I = 20 \text{ А/см}^2 \cdot 12 \cdot 10^{-2} \text{ см}^2 = 2,4\) А.
Давайте придерживаться СИ. \(j = 2,00 \cdot 10^{-3}\) А/м\(^2\). \(I = 24 \cdot 10^{-9}\) А.
6. Найдём концентрацию электронов \(n\).
Постоянная Холла \(R_x = \frac{1}{n \cdot e}\), где \(e\) - элементарный заряд (\(1,602 \cdot 10^{-19}\) Кл).
Отсюда \(n = \frac{1}{R_x \cdot e}\).
\(n = \frac{1}{0,21 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx \frac{1}{0,33642 \cdot 10^{-19}} \approx 2,97 \cdot 10^{19}\) м\(^{-3}\).
В таблице \(n\) дано как \(n \cdot 10^{19}\) м\(^{-3}\). Значит, \(n \cdot 10^{19} \approx 2,97\).
7. Найдём скорость \(v\).
Плотность тока \(j = n \cdot e \cdot v\).
Отсюда \(v = \frac{j}{n \cdot e}\).
\(v = \frac{2,00 \cdot 10^{-3} \text{ А/м}^2}{2,97 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx \frac{2,00 \cdot 10^{-3}}{4,75794} \approx 4,20 \cdot 10^{-4}\) м/с.
В таблице \(v\) дано в см/с.
\(v = 4,20 \cdot 10^{-4}\) м/с \(= 4,20 \cdot 10^{-4} \cdot 100\) см/с \(= 4,20 \cdot 10^{-2}\) см/с \(= 0,042\) см/с.
Давайте запишем результаты для удобства переписывания.
Решение задачи 2.3, вариант 15.
Дано:
\(a = 5,8\) мм
\(b = 4,7\) мм
\(S = 12\) мм\(^2\)
\(B = 41\) мТл
\(R_x \cdot 10^{-2} = 21\) м\(^3\)/Кл
\(U_x = 0,1\) мкВ
Требуется найти: \(d\), \(I\), \(j\), \(n \cdot 10^{19}\), \(v\), \(E_x\).
Переведем известные величины в систему СИ:
\(a = 5,8\) мм \(= 5,8 \cdot 10^{-3}\) м
\(b = 4,7\) мм \(= 4,7 \cdot 10^{-3}\) м
\(S = 12\) мм\(^2\) \(= 12 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\)
\(B = 41\) мТл \(= 41 \cdot 10^{-3}\) Тл
\(R_x = 21 \cdot 10^{-2}\) м\(^3\)/Кл \(= 0,21\) м\(^3\)/Кл
\(U_x = 0,1\) мкВ \(= 0,1 \cdot 10^{-6}\) В \(= 1 \cdot 10^{-7}\) В
Элементарный заряд \(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\) Кл.
1. Найдём толщину \(d\).
Формула: \(S = b \cdot d\)
\(d = \frac{S}{b}\)
\(d = \frac{12 \text{ мм}^2}{4,7 \text{ мм}} \approx 2,55\) мм
2. Найдём напряженность электрического поля \(E_x\).
Формула: \(U_x = E_x \cdot a\)
\(E_x = \frac{U_x}{a}\)
\(E_x = \frac{1 \cdot 10^{-7} \text{ В}}{5,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 1,724 \cdot 10^{-5}\) В/м
3. Найдём плотность тока \(j\).
Формула: \(R_x = \frac{E_x}{j \cdot B}\)
\(j = \frac{E_x}{R_x \cdot B}\)
\(j = \frac{1,724 \cdot 10^{-5} \text{ В/м}}{0,21 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 41 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} \approx \frac{1,724 \cdot 10^{-5}}{8,61 \cdot 10^{-3}} \approx 2,002 \cdot 10^{-3}\) А/м\(^2\)
4. Найдём силу тока \(I\).
Формула: \(I = j \cdot S\)
\(I = 2,002 \cdot 10^{-3} \text{ А/м}^2 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 24,024 \cdot 10^{-9}\) А \(= 0,024024\) мкА.
В таблице \(I\) в мА, поэтому \(I = 24,024 \cdot 10^{-6}\) мА.
5. Найдём концентрацию электронов \(n\).
Формула: \(R_x = \frac{1}{n \cdot e}\)
\(n = \frac{1}{R_x \cdot e}\)
\(n = \frac{1}{0,21 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx \frac{1}{0,33642 \cdot 10^{-19}} \approx 2,972 \cdot 10^{19}\) м\(^{-3}\).
В таблице \(n\) дано как \(n \cdot 10^{19}\) м\(^{-3}\), поэтому \(n \cdot 10^{19} \approx 2,97\).
6. Найдём скорость \(v\).
Формула: \(j = n \cdot e \cdot v\)
\(v = \frac{j}{n \cdot e}\)
\(v = \frac{2,002 \cdot 10^{-3} \text{ А/м}^2}{2,972 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx \frac{2,002 \cdot 10^{-3}}{4,761} \approx 4,205 \cdot 10^{-4}\) м/с.
В таблице \(v\) в см/с: \(v = 4,205 \cdot 10^{-4} \cdot 100\) см/с \(= 0,04205\) см/с.
Окончательные результаты (округленные до двух-трех значащих цифр, как обычно в таких задачах):
* \(d \approx 2,55\) мм
* \(I \approx 0,024\) мкА (или \(24 \cdot 10^{-6}\) мА)
* \(j \approx 0,002\) А/м\(^2\)
* \(n \cdot 10^{19} \approx 2,97\) м\(^{-3}\)
* \(v \approx 0,042\) см/с
* \(E_x \approx 1,72 \cdot 10^{-5}\) В/м
Заполненная строка для 15 варианта:
| Вариант | \(a\), мм | \(b\), мм | \(d\), мм | \(S\), мм\(^2\) | \(I\), мА | \(j\), А/м\(^2\) | \(B\), мТл | \(n \cdot 10^{19}\), м\(^{-3}\) | \(v\), см/с | \(R_x \cdot 10^{-2}\), м\(^3\)/Кл | \(U_x\), мкВ | \(E_x\), В/м |
| :------ | :-------- | :-------- | :-------- | :-------------- | :-------- | :-------------- | :-------- | :------------------------------ | :---------- | :-------------------------------- | :---------- | :---------- |
| 15 | 5,8 | 4,7 | 2,55 | 12 | \(24 \cdot 10^{-6}\) | \(2,00 \cdot 10^{-3}\) | 41 | 2,97 | 0,042 | 21 | 0,1 | \(1,72 \cdot 10^{-5}\) |